Man beweise oder widerlege: A = {x ∈ X : f(x) < c} ist offen Geht mein Ansatz denn auch?

Question

Aufgabe:

Sei X ein metrischer Raum, c ∈ R und f : X → R stetig.
Man beweise oder widerlege: A = {x ∈ X : f(x) < c} ist offen

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz: Es gilt: Fur jede offene Teilmenge ¨ V ⊂ Y ist das Urbild f^−1(V ) offen in X.

=> (-∞,c) offen => Urbild (-∞,c) offen => f^-1((-∞,c))={x e X : f(x)<c} ist offen in X.

Die Lösung begründet es jedoch anders über eine Umgebung bon f(x). Geht mein Ansatz denn auch?

LG Mika

Comments

Vollkommen korrekt deine Version des Beweises ... und auch elegant.

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Ok perfekt vielen dank dir ^^

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Könnte es denn Problem sein, dass hier das Bild nicht ganz R sein muss? Oder funktioniert der Beweis trotzdem?

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Da spielt hier keine Rolle, denn als Zielraum ist \(\mathbb R\) angegeben und das Intervall \((-\infty , c)\) ist offen in \(\mathbb R\).