Urnenmodell kombinatorik Aufgabe

Question

Aufgabe:

Es gebe vier Typen von Hausaufgaben, die sich hinsichtlich ihrer Bearbeitungszeit unterscheiden.
In einer Woche werden insgesamt 20 Aufgaben gestellt, 4 vom Typ I, 6 vom Typ II, 7 vom Typ III
und 3 vom Typ IV. Man wähle an einem Tag 5 dieser 20 Hausaufgaben zufällig zur Bearbeitung aus, d.h., die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte der 20 Aufgaben auszuwählen, sei für alle Aufgaben gleich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 5 ausgewählten
Aufgaben
a) mindestens 3 Aufgaben vom Typ II,
b) nur Aufgaben vom Typ II und III,
c) genau 3 Aufgaben vom selben Typ
sind? Geben Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.

Problem/Ansatz:

Die a) habe ich mithilfe der Binomialverteilung gelöst, also mit p=6/20=0.3, n=5 und k=3,4,5 und komme somit auf 18.5%

Bei der b) (6+7)/20=0.65, 0.65^5=0.1160.

Bei c) bin ich mir nicht sicher, aber ich habe mir überlegt 4 verschiedene Binomialverteilungen aufzustellen mit den jeweiligen p´s. Dann (5 über 3)*0.2^3*0.8^2+(5 über 3)*0.3^3*0.7^2+..... = 0.3799. Ich habe mir gedacht das dies funktioniert, da alle Ereignisse disjunkt sind und somit P(A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)

Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand helfen kann, da ich keine Lösungen zum Vergleichen habe.

Vielen Dank! :)

Answer 1

Die a) habe ich mithilfe der Binomialverteilung gelöst, also mit p=6/20=0.3, n=5 und k=3,4,5 und komme somit auf 18.5%

Die Binomialverteilung modelliert ein Ziehen mit Zurücklegen, bei dem sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Du wählst allerdings keine Aufgabe mehrmals zum Bearbeiten aus, oder?

Denk also mal in Richtung hypergeometrische Verteilung nach.

Hier meine Wahrscheinlichkeiten zur Kontrolle

a) 0.1313
b) 0.0830
c) 0.3332

bei b) finde ich es unklar, ob auch alle 5 Aufgaben nur vom Typ II oder III sein können oder ob zwingend beide Aufgabentypen genommen werden müssen. Ich habe es so gerechnet das auch alle Aufgaben nur vom Typ II oder III sein können.

Comments

b)

Wenn mind. eine Aufgabe von den Typen Typ II und III gewählt werden muss.

0.0813

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Danke für deine HIlfe! Mit der geometrischen Verteilung bekomme ich die selben Werte wie du raus. Ich denke bei der b) ist gemeint, dass man 5 aus 13 nehmen soll

Answer 2

a) hypergeometrische Verteilung, es wird nicht zurückgelegt
'P(X>=3 = P(X=3)+P(X=4)

= (6über4)*(16über1)/(20über5) + (6über5)/(20über5) = 0,01586

b) Es fehlt die genaue Angabe, wieviel von jeder Sorte (1+4, 2+3, 3+2, 4+1)

Du musst all diese Kombinationen berechnen.

c) Hier musst du die WKTen addieren von P(3*I) +P(3*II)+P(3*III)+P(3*IV)

P(3*II) steht schon bei a)