Kombinatorik Urnenmodell (Ziehen mit und ohne zurücklegen)

Question

1. Aufgabe

Acht Ehepaare besuchen gemeinsam eine Abendvorstellung im Theater. Das Ehepaar Meier kauft die Karten. Es sind nur noch zwölf Karten für Sperrsitz und vier Karten für den 1. Rang vorrätig. Sowohl Frau Meier als auch Herr Meier bekommen von der Dame an der Kasse rein zufällig acht der Karten ausgehändigt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Herr Meier höchstens eine Karte für den 1. Rang? 

2. Aufgabe

Ein Schütze trifft ein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 100 Schüssen genau fünf Fehlschüsse?

3. Aufgabe

Bei der Herstellung eines Massenartikels ergibt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,1 Ausschuss. Es
werden 20 Artikel der laufenden Produktion entnommen.

a) Begründen Sie, warum man das Ziehen mit Zurücklegen als Näherung des Ziehens ohne Zurücklegen verwenden kann.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 20 Stück genau drei Ausschuss-Stücke findet.

Answer 1

1. Aufgabe

Acht Ehepaare besuchen gemeinsam eine Abendvorstellung im Theater. Das Ehepaar Meier kauft die Karten. Es sind nur noch zwölf Karten für Sperrsitz und vier Karten für den 1. Rang vorrätig. Sowohl Frau Meier als auch Herr Meier bekommen von der Dame an der Kasse rein zufällig acht der Karten ausgehändigt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Herr Meier höchstens eine Karte für den 1. Rang?

P = ((4 über 0)·(12 über 8) + (4 über 1)·(12 über 7))/(16 über 8) = 0.2846

2. Aufgabe

Ein Schütze trifft ein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 100 Schüssen genau fünf Fehlschüsse?

P = (100 über 5)·0.05^5·0.95^95 = 0.1800

3. Aufgabe

Bei der Herstellung eines Massenartikels ergibt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,1 Ausschuss. Es werden 20 Artikel der laufenden Produktion entnommen.

a) Begründen Sie, warum man das Ziehen mit Zurücklegen als Näherung des Ziehens ohne Zurücklegen verwenden kann.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 20 Stück genau drei Ausschuss-Stücke findet.

a) Wenn aus einer sehr sehr großen Menge gezogen wird ändern sich die Wahrscheinlichkeiten kaum, wenn ein ein Element fehlt. Dann kann man so tun als wenn man mit Zurücklegen zieht. Dort ändern sich die Wahrscheinlichkeiten ja gar nicht. 

b) P = (20 über 3)·0.1^3·0.9^17 = 0.1901