Was ist dann der Erwartungswert und die Varianz von X (Anzahl an Bonbons, die ein Gast nimmt)?

Question

Aufgabe:

In der Lobby von Hilbert's Hotel steht für die Gäste eine Bonboniere mit unendlich vielen Bonbons. Ein Gast nimmt genau ein Bonbon mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2, genau zwei Bonbons mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4, genau drei Bonbons mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/8, ... und genau n Bonbons mit einer Wahrscheinlichkeit von (1/2)^n.

Sei X die Zufallsgröße, die angibt, wie viele Bonbons ein Gast nimmt.

a) Was ist dann der Erwartungswert und die Varianz von X?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast mehr als die erwartete Anzahl an Bonbons nimmt?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir obige Aufgabe als Knobelaufgabe für Schüler der Oberstufe ausgedacht. Das Internet darf zur Recherche nach Formeln benutzt werden. Eine rein numerische Berechnung mittels Taschenrechner gibt keine Punkte.

Answer 1

Aloha :)

Eine sehr schöne Aufgabe, mit "guten" Zahlen als Ergebnis.$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\implies \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}\quad\text{für }|x|<1$$Mit \(x=\frac12\) liefert das \(\left<X\right>=2\).

Weil es so schön war, können die Schüler das gleich nochmal machen:$$\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot nx^{n-1}=\frac{(1-x)^2+2x(1-x)}{(1-x)^4}=\frac{1+x}{(1-x)^3}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$Mit \(x=\frac12\) liefert das \(\left<X^2\right>=6\) und damit ist die Varianz \(V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=2\).

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. so was in der Art:$$\left<X\right>=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2^n}+\frac{n-1}{2^n}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{(n+1)-1}{2^{n+1}}\right)$$$$\phantom{\left<X\right>}=\frac12\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{2^{n+1}}=\frac12\cdot\frac{1}{1-\frac12}+\frac12\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=1+\frac12\cdot\left<X\right>\implies\left<X\right>=2$$

Doch, ich glaube, da steckt bei Teil (a) viel zum Knobeln drin.

Willst du als Tipp die "geometrische Reihe" angeben?