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Die Dichtefunktion lautet:$$f(x)=12(x^2-x^3)\quad;\quad 0\le x\le1$$
Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X\) einen Wert kleiner als \(x\) annimmt, daher gilt:$$F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt=\int\limits_0^x12(t^2-t^3)dt=12\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]_0^x=4x^3-3x^4$$
Der Erwartungswert ist lautet:$$E(X)=\left<X\right>=\int\limits_0^1x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_0^112(x^3-x^4)\,dx=12\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=12\cdot\frac{1}{20}=\frac35$$
Für die Varianz brauchen wir zunächst den Erwartungswert von \(X^2\):$$\left<X^2\right>=\int\limits_0^1x^2\cdot f(x)\,dx=\int\limits_0^112(x^4-x^5)\,dx=12\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}\right]_0^1=12\cdot\frac{1}{30}=\frac{2}{5}$$$$V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=\frac25-\left(\frac35\right)^2=\frac{10}{25}-\frac{9}{25}=\frac{1}{25}$$
