Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz von X .

Question

Aufgabe:

Die stetige Zufallsvariable \( X \) hat die Dichtefunktion

\( f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,5 x-1 & \text { für } 2<x<4 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz von \( X \).

\( F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { falls } x \leq 2 \\ 0,25 x^{2}-x+1 & \text { falls } 2<x<4 \\ 1 & \text { falls } 4 \leq x\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf diese Verteilungsfunktion? Habe versucht zu integrieren, da kam dann mit den Grenzen 2 und 4 als Ergebnis 1 raus, wird die 1 dann einfach zu dieser Stammfunktion hinzuaddiert? oder wo kommt die 1 sonst her?

Answer 1

\(F_X(x)  = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)\,\mathrm{d}t = \begin{cases}\int\limits_{-\infty}^t 0\,\mathrm{d}t&\text{falls }x\leq 2\\\int\limits_{-\infty}^2 0\,\mathrm{d}t + \int\limits_{2}^x (0,5t-1)\,\mathrm{d}t&\text{falls }2<x<4\\ \int\limits_{-\infty}^2 0\,\mathrm{d}t + \int\limits_{2}^4 (0,5t-1)\,\mathrm{d}t + \int\limits_{4}^x 0\,\mathrm{d}t&\text{falls }4\leq x\end{cases}\).

Comments

dankeschön :D

mal ne Frage, wenn man Wahrscheinlichkeiten angeben soll bei stetigen Zufallsvariablen, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für P(0,5<x<0,8)

kann man da die Dichtefunktion mit diesen Grenzen also 0,5 und 0,8 integrieren oder muss man die Verteilungsfunktion nehmen?

Wann nimmt man die Verteilungsfunktion allgemein gesagt?

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Aus der Integralrechnung kennst du vielleicht die Additivität von Integralen:

        \(\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm{d}x + \int\limits_b^cf(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_a^cf(x)\,\mathrm{d}x\).

Die habe ich übrigens auch in meiner Antwort verwendet.

beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für P(0,5<x<0,8)

(1)        \(P(0,5<X<0,8) = F_X(0,8) - F_X(0,5)\)

kann man da die Dichtefunktion mit diesen Grenzen also 0,5 und 0,8 integrieren

Wegen Additivität gilt

        \(\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{0,5}f_X(x)\,\mathrm{d}x}_{=F_X(0,5)} + \int\limits_{0,5}^{0,8}f_X(x)\,\mathrm{d}x = \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{0,8}f_X(x)\,\mathrm{d}x}_{=F_X(0,8)}\).

Umstellen ergibt

(2)        \(\int\limits_{0,5}^{0,8}f_X(x)\,\mathrm{d}x = F_X(0,8) - F_X(0,5)\).

Aus (1) und (2) folgt

        \(P(0,5<X<0,8) = \int\limits_{0,5}^{0,8}f_X(x)\,\mathrm{d}x\).

Wann nimmt man die Verteilungsfunktion allgemein gesagt?

Wenn du keinen Bock hast, jedes mal die gleiche Funktion mit unterschiedlichen Grenzen zu integrieren um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Dann stellt man ein mal mittels Integration die Verteilungsfunktion auf und verwendet sie anschließend nur noch.