Berechnen eines unbekannten Winkels in einem beliebigen Dreieck mit dem Sinussatz

Question

Aufgabe:

Berechnen eines unbekannten Winkels in einem beliebigen Dreieck mit dem Sinussatz bzw. Kräftezerlegung und Parallelogrammsatz.

Problem/Ansatz:

Der Winkel beta soll mit dem Sinussatz berechnet werden.

Gegeben ist F1, Fr und Winkel alpha

Wieso ist das Verhältnis von Sinus von Winkel alpha zu Fr gleich dem Verhältnis von Sinus des Winkels beta zu F1?

sin(alpha)/Fr = sin(beta)/F1

Wäre laut dem Sinussatz nicht der Winkel, der von F1 und der unbekannten Strecke a eingeschlossen ist nötig?
Ich benenne den Winkel mal mit gamma.
Wäre gamma gleich 180 Grad minus dem Winkel alpha?

Answer 1

Wir teilen α mal auf in α1 und α2. so dass also gilt

α1 + α2 = α

α2 ist dabei so groß wie β, weil die beiden Dreiecke, die durch die Diagonale im Parallelogramm gebildet werden, kongruent sind.

α1 + β = α -> α1 = α - β

Der gegenüberliegende Winkel von Fr ist jetzt

180° - (α - β) - β = 180° - α

Und damit gilt dann der Sinussatz

SIN(β) / F1 = SIN(180° - α) / Fr

Nun gilt aber

SIN(180° - α) = SIN(α) und damit dann auch

SIN(β) / F1 = SIN(α) / Fr --> SIN(β) = F1 * SIN(α) / Fr --> β = SIN^{-1}(F1 * SIN(α) / Fr)

Comments

SIN(180° - α) = SIN(α)

Danke!