Wie oft muss man ziehen bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat?

Question

Aufgabe:

Aus einer Urne mit zwei schwarzen und drei weißen Kugeln werden nacheinander ohne zurücklegen Kugeln gezogen.

Wie oft muss man ziehen bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat?

Gib eine geeignete Zufallsgröße an und bestimme ihre Verteilung

Problem/Ansatz:

Ich habe da jetzt ein Baumdiagramm gezeichnet aber das erscheint mir sehr mühselig.

Ich habe folgende Kombinationen

wwwss

wwss

wsws

wss

swws

sws

ss

wswws

swwws

Answer 1

Erst nach 5 Ziehungen hat man mit Sicherheit beide schwarzen gezogen. Vorher nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit, die sich aus der hypergeometrischen Verteilung ergibt.

Comments

Ich vermute, die Frage ist, wie oft man im Durchschnitt ziehen muss um

die beiden schwarzen zu erhalten.

Answer 2

Mache dir eine Aufzählung für die Zufallsvariable X := "Anzahl der Züge":

2 Züge: { }

3 Züge: { wss, sws }

4 Züge: { }

5 Züge: { }

Answer 3

Aus einer Urne mit zwei schwarzen und drei weißen Kugeln werden nacheinander ohne zurücklegen Kugeln gezogen. Wie oft muss man ziehen, bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat?

Gib eine geeignete Zufallsgröße an und bestimme ihre Verteilung.

Die Frage "Wie oft muss man ziehen, bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat?" ist hier wieder nicht richtig gestellt, dann natürlich muss man 5 Mal ziehen, um sicherzustellen, dass man dann beide schwarzen Kugeln gezogen hat.

Korrekter sollte es daher lauten: "Wie oft muss man im Durchschnitt ziehen, bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat?"

Um das zu beantworten, bräuchte man dann folgende Zufallsgröße und dessen Erwartungswert.

Zufallsgröße

X: Anzahl der Ziehungen, bis man beide schwarze Kugeln gezogen hat.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

xi	2	3	4	5
	ss	sws, wss	swws, wsws, wwss	swwws, wswws, wwsws, wwwss
P(X = xi)	1/10	2/10	3/10	4/10

Erwartungswert und Varianz

E(X) = 2·1/10 + 3·2/10 + 4·3/10 + 5·4/10 = 4

σ^2(x) = 2^2·1/10 + 3^2·2/10 + 4^2·3/10 + 5^2·4/10 - 4^2 = 1