Begründen, dass f auf der Menge seine Extrema annimmt

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} \) durch \( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=e^{x_{1} x_{2}} \) definiert.
Begründe, dass \( f \) auf der Menge \( M:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\} \) seine Extrema annimmt.

Bestimme weiter die Lage und Art der Extrema von f auf M, sowie die zugehörigen Funktionswerte.

Problem/Ansatz:

Es ist M kompakt, da beschränkt und abgeschlossen, daher nimmt f auf M seine Extremwerte an.

Also gilt nach meinem Skript:

\( \sup _{x \in M}|f(x)|=\max _{x \in M}|f(x)| \) und \( \inf _{x \in M}|f(x)|=\min _{x \in M}|f(x)| \).

Für alle m∈M gilt m=1. also kann ich doch \( \sup _{1 \in M}|f(x)| \) = e^1•1 sagen? Ich vermute dieser Ansatz ist nicht ganz korrekt.

Ich freue mich, würde mir wer helfen.

Danke im Voraus:)

Answer 1

Die Begründung, dass \(f\) seine Extrema auf \(M\) annimmt, ist korrekt.

Allerdings ist nicht \(m=1\) für alle \(m\in M\) - kann ja gar nicht, weil die Objekte in \(M\) in \(\R^2\) liegen.

Vorgehen also: am besten mit Lagrange-Multiplikatoren, ist vermutlich in der Vorlesung besprochen worden. Damit identifiziert man Kandidaten für die Extremstellen und prüft danach, ob es wirklich welche sind (mithilfe des ersten Teils und der Funktionswerte).

Answer 2

Wegen der strengen Monotonie von \(e^x\) müssen wir

nur untersuchen für welche \(x,y\) das Produkt \(xy\) sein Maximum und

sein Minimum annimmt, wenn \(x^2+y^2=1\) als Nebenbedingung

verlangt wird.

Die Punkte des Einheitskreises kann man gut durch

\(x=\cos(t)\) und \(y=\sin(t)\) parametrisieren.

Dann ist \(xy=\sin(2t)/2\). Dies ist maximal, wenn

\(\sin(2t)=1\) und minimal, wenn \(\sin(2t)=-1\) ist, d.h.

maximal, wenn \(t=\pi/4\) oder \(t=\pi/4+\pi\) und

minimal, wenn \(t=3/4\pi\) oder \(t=3/4\pi + \pi\).

Hieraus ergeben sich \(x\) und \(y\) und schließlich \(e^{xy}\).

Comments

Ich danke euch! Lagrange ist super und kombiniert mit ermanus‘ Idee der Parametrisierung ist es noch viel einfacher die Extremstellen zu finden!

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Ich benutze Lagagrange überhaupt nicht,

sondern verwende im wesentlichen nur die Eigenschaften

der Sinus-Funktion.