y-Schnittstelle, Nullstellen und Scheitelpunkt ohne Manipulation an Gleichung oder Term.

Question

Aufgabe:

In der 11. Jahrgangstufe werden ausführlich die quadratischen Funktionen behandelt. Gegeben sei die Funktionen f(x) = (x+2)² - 1
Erläutern Sie, ohne weitere Manipulationen am Funktionsterm vorzunehmen, was Sie damit über den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse sagen können.

Problem/Ansatz:

Schnittpunkt: (s/e) : (-2 / -1)

Mein Problem ist:     Ist diese Rechnung eine "Manipulation des Terms?" 
Die Nullstellen zu berechnen:
(x+2)²-1 = 0      / +1

(x+2)² = 1       / sqrt

x+2 = + / - 1          /-2

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = -1 - 2 = -3

Also die Schnittstellen befinden sich bei -1 und -3 

y schnittstelle: für x = 0  auch die gleiche Frage: manipuliere ich damit die Gleichung "Term" ?

f(x) = (x+2)² - 1 <=>  f(0) = (0+2)² -1 = 4-1 = 3 

Answer 1

In der 11. Jahrgangstufe werden ausführlich die quadratischen Funktionen behandelt. Gegeben sei die Funktionen f(x) = (x+2)² - 1

Erläutern Sie, ohne weitere Manipulationen am Funktionsterm vorzunehmen- was Sie damit über den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse sagen können.

Wenn ihr die erst in der 11. Jahrgangsstufe ausführlich behandelt habt, ist das recht spät. In der 11. Klasse wird es meist nur noch mal kurz aufgefrischt.

f(x) = (x + 2)² - 1 ist die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Damit ist der Scheitelpunkt direkt bei (-2 | -1) ablesbar.

Da es eine nach oben geöffnete Parabel ist und sich der Scheitelpunkt unter der x-Achse befindet, gibt es Nullstellen. Diese liegen aufgrund des Öffnungsfaktors von 1 bei -3 und -1.

Für den y-Achsenabschnitt setzt man ja für x = 0 ein und kommt damit sehr leicht auf 2^2 - 1 = 3

Ich denke der Lehrer meint hier ohne weitere Rechnungen. Allerdings finde ich solch triviale Dinge, die man im Kopf macht, ohne schriftliche Rechnung so einfach, dass es eigentlich keine Rechnung oder Umformung ist.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Prinzipiell konnte ich, wie oben beschrieben, selbst berechnen, aber ich war mir nur nicht sicher, ob es sich um eine "Manipulation des Terms" handelt. Die Aufgabe stammt von der Universität, also ich bin nicht in der 11. Klasse.

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Wenn du

(x+2)²-1 = 0      / +1
(x+2)² = 1      / sqrt
x+2 = + / - 1          /-2
x1 = 1 - 2 = -1
x2 = -1 - 2 = -3

so im Kopf rechnest, wäre es keine Manipulation. Schreibst du es aber auf, würde ich es als Manipulation bezeichnen.

(x+2)² - 1 = 0

Ich forme das auch im Kopf nicht um, sondern überlege, was muss x sein, wenn x - 1 = 0 ergibt. Das wäre 1 und damit muss das Quadrat 1 sein. Dann überlegt man was muss x sein, damit x^2 = 1 ist. Das sind ± 1.

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Ich habe es von dieser Ansicht nicht betrachtet, du hast recht. Ich hätte es auch gedanklich durchgehen können! Ich merke es mir für die Klausur. Ich danke dir nochmal!

Answer 2

Aloha :)

Die quadratische Funktion lautet:$$f(x)=(x+2)^2-1$$

Du sollst ja ohne Manipulation des Terms die Fragen beantworten...

Da eine Quadratzahl nie negativ werden kann, ist das Minimum von \((x+2)^2\) der Wert \(0\) und wird an der Stelle \(x=-2\) angenommen. Der zugehörige Funktionswert ist dann \(f(-2)=-1\). Damit haben wir den tiefsten Punkt der Parabel, also den Scheitelpunkt gefunden:\(\;\pink{S(-2|-1)}\).

Den Schnittpunkt mit der y-Achse finden wir bei \(x=0\). Der Funktionswert dazu ist \(f(0)=3\). Damit haben wir den Schnittpunkt mit der y-Achse gefunden: \(\;\pink{Y(0|3)}\).

Die Nullstellen der Funktion liegen dort, wo der quadratische Term \((x+2)^2\) den Wert \(1\) annimmt, also bei \(x=-1\) und bei \(x=-3\), also: \(\;\pink{N_1(-3|0)}\;;\;\pink{N_2(-1|0)}\).

~plot~ (x+2)^2-1 ; [[-5|1|-2|5]] ~plot~

Answer 3

Hallo,

die Gleichung ist in der Scheitelpunktform gegeben, so dass du diesen ablesen kannst: S (-2|-1).

Wenn du 0 für x einsetzt, hast du ohne Manipulationen den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmt.

Nullstellen:

\((x+2)^2-1=0\Rightarrow (x+2)^2=1\)

Jetzt kannst du "ablesen", dass die Nullstellen bei -1 und -3 sind, da das Quadrat der Klammer 1 ergeben muss.

Gruß, Silvia

Answer 4

\(f(x) = (x+\red{2})² - \green{1}\)

Scheitelpunkt:

\(S(-\red{2}|-\green{1})\)

Es ist eine um \(\red{2}\) Einheiten nach links und \(\green{1}\) Einheit nach unten verschobene Normalparabel \(f(x)=x^2\)

\(f(x)=x^2\)→\(f(-1)=(-1)^2=1\)

\(f(x)=x^2\)→\(f(1)=1^2=1\)

Somit sind die Nullstellen \(N_1(-\red{2}-1|0\) und \(N_2(-\red{2}+1|0)\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:

\(f(0) = (0+\red{2})² - \green{1}=3\)

Answer 5

Allgemein:

f(x) = (x-a)^2- b

Scheitel: (a|-b)

Schnittpunkt mit y-Achse:

f(0) = a^2- b

S(0|a^2- b)

Nullstellen:

(x-a)^2-b =0

x-a = +-√b

x= +-√b + a