Wie Spiegel ich einen Punkt an einer Geraden?

Question

Aufgabe:

Wie Spiegel ich einen Punkt an einer Geraden?

Problem/Ansatz:

Bsp.: g: x= (1/1/1)+r•(2/2/2) P (1/3/-2)

P soll nun an g gespiegelt werden. Ich weiß wie man den Abstand von g und P berechnet und wie lang dieser ist, allerdings weiß ich nicht was ich dann damit anstellen soll um ihn zu spiegeln und P‘ zu bekommen.

Answer 1

Du musst das Lot von P auf g fällen. Eine Möglichkeit

den Lotfußpunkt L zu bestimmen ist:

Schneide g mit der Ebene durch P die als Normalenvektor

den Richtungsvektor der Ebene hat. Dann rechne

P+2*VektorPL und du hast P '.

Ich bekomme P ' = ( 1/3  ; -5/3  ;  10/3 ).

Comments

Ich bekomme P ' = ( 1/3  ; -5/3  ;  10/3 ).

das habe ich auch raus

---

Danke sehr, aber da hätte ich noch eine Frage. Wenn wir das selbe Szenario hätten. Nur mit einer Ebene anstellen einer geraden (in Normalform), dann könnte ich den Punkt, der gespiegelt werden soll doch nicht berechnen, indem ich eine Gerade aus dem Punkt als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor bilde. Schließlich könnte es ja auch der Richtungsvektor „auf der anderen Seite“ sein oder? Also dass die Vorzeichen verdreht werden müssten.

---

Zum Spiegeln von P an einer Ebene, fällst du

das Lot von P auf die Ebene. Dazu nimmst du eine

Gerade durch P mit dem Normalenvektor der Ebene

als Richtungsvektor. Diese Gerade schneidet die Ebene

im Lotfußpunkt L . Dann wieder  P + 2*VektorPL .

---

Sicher, dass man den Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden nehmen kann? Vektor PL soll außerdem der Normalenvektor sein, richtig?

---

Nur mit einer Ebene anstellen einer geraden (in Normalform), dann könnte ich den Punkt, der gespiegelt werden soll doch nicht berechnen, indem ich eine Gerade aus dem Punkt als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor bilde.

Doch genau das tut man. Sei eine Ebene \(E\) und ein Punkt \(P\) gegeben$$E: \space \vec n \vec x = d, \quad P$$So bildet man die Gerade durch \(P\) in Richtung des Normalenvektors \(\vec n\)$$h: \space \vec x = P + r \cdot \vec n$$und bringt sie mit \(E\) zum Schnitt$$\vec n \left( P + r_L \cdot \vec n\right) = d \quad \implies r_L = \frac{d - \vec n P}{\vec n^2}$$

Schließlich könnte es ja auch der Richtungsvektor „auf der anderen Seite“ sein oder?

Sicher! Aber dann ist das \(r_L\) eben negativ. In jedem Fall bekommt man den Schnittpunkt \(L\) von \(h\) und \(E\) mit $$L = P + r_L \cdot \vec n$$und den gespiegelten Punkt \(P'\) wie oben$$P' = P + 2\vec{PL} = P + 2(L - P) = 2L - P$$

---

Nachtrag: die letzten beiden Gleichungen kann man auch zusammen fassen. Aus$$L = P + r_L \cdot \vec n$$ folgt $$L - P = \vec {PL}= r_L \cdot \vec n$$und wegen $$P' = P + 2\vec{PL}$$ist$$P' = P + 2 r_L \cdot \vec n$$und das \(r_L\) kann ntürlich auch negativ sein. Je nachdem auf welcher Seite \(P\) bezogen auf \(\vec n\) zur Ebene \(E\) liegt.

Answer 2

Eine Orthogonale durch P zu g ist h: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\3\\-2 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} -1\\-7\\8 \end{pmatrix} \). S sei der Schnittpunkt von g und h. Wenn du von P aus um \( \vec{PS} \) weitergehst, gelangst du zum Spiegelpunkt.

Comments

Du musst schon (-1 ; -7 ; 8 ) als Richtungsvektor

nehmen, sonst schneiden sie sich nicht.

---

Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich nicht. Wenn schon, dann muss man $$h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ -2\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}-1\\ -7\\ 8\end{pmatrix}$$nehmen, und dann erklären, wie Du auf \(\begin{pmatrix}-1& -7& 8\end{pmatrix}^T\) kommst.