Vektorrechnung, Analytische Geometrie

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A (-2/9/3), B(7/3/0), C (1/7/2) und D (6/-3/0).

1. Weisen Sie nach, dass der Punkt C auf der Strecke AB liegt und gib an in welchem Verhältnis C die Strecke teilt.

2. Zeige, dass D nicht auf der Geraden durch A und B liegt. Gib den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABD an.

3. Welcher Punkt der Y-Achse hat von A und D den gleichen Abstand.

Problem/Ansatz:

Wir fangen diese Thema gerade an und haben dies als Hausaufgabe. Ich weiß jetzt was ein Vektor ist, habe aber keine Ahnung wie ich anfangen soll.

Answer 1

1.

AB = B - A = [9, -6, -3]

AC = C - A = [3, -2, -1]

AC = 1/3*AB

C teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:2.

Comments

2.

AD = D - A = [8, -12, -3]

AD und AB sind linear unabhängig. Damit liegt D nicht auf der Geraden durch A und B.

BD = D - B = [-1, -6, 0]

Umfang
U = |[9, -6, -3]| + |[8, -12, -3]| + |[-1, -6, 0]| = √37 + √217 + 3·√14 = 32.04

Fläche
A = 1/2·|[9, -6, -3] ⨯ [8, -12, -3]| = 3/2·√437 = 31.36

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3.

|[-2, 9, 3] - [0, y, 0]| = |[6, -3, 0] - [0, y, 0]| --> y = 49/24

P(0 | 49/24 | 0)

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Bei Aufgabe 3 komm ich nicht mit, wie kommst du auf die 49/24?

Den Rest habe ich verstanden, vielen Dank!

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Probiere mal die Gleichung

|[-2, 9, 3] - [0, y, 0]| = |[6, -3, 0] - [0, y, 0]|

zu lösen.

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Beim Umfang oben und der Fläche konnte ich es nachvollziehen.

Hier komme ich auf 94/45. Ich muss doch den Betrag nehmen, richtig?

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Können Sie mir bitte den Rechenweg aufzeigen, wie sie auf die 49/24 kommen?

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|[-2, 9 - y, 3]| = |[6, -3 - y, 0]|

(-2)^2 + (9 - y)^2 + 3^2 = 6^2 + (-3 - y)^2 + 0^2

Diese Gleichung kannst du jetzt mit einem Rechentool wie Photomath schrittweise dir vorrechnen lassen.

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Vielen lieben Dank. Habe die Gleichung aufgelöst und komme jetzt drauf.

Answer 2

Zu 1:

Rechne die Gerade AB und mache eine Punktprobe von C in der Gerade AB. Also setze die Gerade AB gleich C.

Zu 2:

Mache da eine Punktprobe von D in AB und zeige, dass man die Gerade AB nicht mit D gleichsetzen kann. Anschließend rechnest du die Fläche des Dreiecks und den Umfang, wofür du die Seitenlängen AB, AD und BD brauchst.

Zu 3:

Rechne mit einem Punkt (0/y/0) den jeweiligen Abstand zu A und zu D und setze sie gleich, sodass du am Ende die Koordinaten von dem Punkt herausbekommst.

Weißt du, wie das alles geht?