Analytische Geometrie: Wie heisst die Koordinatengleichung Ihrer Mittelparallen?

Question

Die parallen Geraden "g" und "h" sind gegeben. Wie heisst die Koordinatengleichung Ihrer Mittelparallen?

(a.)   "g:"   3x - 2y + 4 = 0    ;      "h:"  6x - 4y - 3 = 0

(b.)   "g:"   y =  1/3x - 4 = 0    ;      "h:" (x / y) = (1 / 1) + t (3 /1)

Problem/Ansatz:

Analytische Geometrie: Geraden

Answer 1

Hallo,

bringe beide Gleichungen in die Koodinatenform mit identischen Koeffizienten vor \(x\) und \(y\). Bei Aufgabenteil a) dividiere die zweite Geradengleichung durch 2. Dann bilde schlicht den Mittelwert der freien Konstanten$$\begin{aligned} g: \quad 3x-2y+4 &=0 \\ h: \quad 3x - 2y - \frac 32 &= 0 \\ m_{gh}: \quad 3x - 2y + \frac 54 &=0\end{aligned}$$Im Teil b) kann man die erste Gleichung mit 3 multiplizieren und das \(x\) auf die linke Seite bringen. Bei der zweiten Gleichung das \(t\) eliminieren$$y = 1 + t \implies t = y-1 \\ x = 1 + 3(y-1)  = 1 +3y - 3 \\ 3y -x = 2$$ Die Mittelparallele ist dann$$\begin{aligned}g:\quad 3y -x &= -12 \\ h: \quad 3y -x &= 2 \\ m_{gh} \quad 3y -x &= -5\end{aligned}$$Teil b) nochmal als Graph:

Comments

Hallo, Vielen schönen Dank für Ihre Mühe und Antwort.
Aber wie ist der Mittelwert den absoluten Gliedern relevant zur «Mittelparallelen» der beiden Geraden? Einfavh weil es «Mittel …» heisst? Müsste man den nicht irgendwie den Abstand dazu berechnen? Die Steigung ist klar => muss gleich sein, da die Geraden parallel sind. Aber das absolut Glied der Mittelparallele soll der Mittelwert der der beiden Geraden sein … warum mathematisch genau?
Besten Dank für Ihre Antwort
LG, Gloor

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Müsste man den nicht irgendwie den Abstand dazu berechnen?

Die freie Konstante in einer linearen Gleichung ist ein Mass für den Abstand vom Ursprung. Es ist zwar nicht der Abstand selbst, aber wenn man zwei Gleichungen so umformt, dass die Koeffizienten vor \(x\) und \(y\) die selben sind, müssen auch die freien Konstanten mit dem gleichem Faktor multipliziert werden, um den Abstand zu bekommen.

Folglich ist der Mittelwert dieser Konstanten auch die Konstante der Mittelparallele. Beispiel: heißen die beiden Funktionen$$y= \frac 12 x -2 \\ y = \frac 12 x +6 $$so ist \(8\) der Abstand, wenn man den Unterschied in Y-Richtung als solchen bezeichnet. Und natürlich liegt $$y = \frac 12 x + \frac{-2 +6}2 = \frac 12x + 2$$ genau in der Mitte zwischen den beiden.