Analytische geometrie .

Question

ich habe das gegeben;

Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide P(0/-6/0) Q(12/0/0) und R((0/6/0).

Die Pyramide wird von einer ebene geschnitten und der obere teilkörper entfernt. Die deckfläche hat die Punkte P(0/-2/2), O(2/0/2,5) und R(0/1/2,5).

Begründen Sie, dass die Deck- und Grundfläche des Pyramidenstumpfs nicht parallel sind.

Für parallelilat müssen die Punkte von deckfläche vielfache von Punkte von Grundfläche sein oder?

Answer 1

Hallo Laura,

Begründen Sie, dass die Deck- und Grundfläche des Pyramidenstumpfs nicht parallel sind.

Die Grundfläche der Pyramide ist die XY-Ebene, was man daran sieht, dass die Z-Koordinaten der Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) alle gleich und gleich 0 sind.

Die Z-Koordinate von \(P'\) ist \(p'_z=2\) unterscheidet sich aber von denen der anderen beiden Punkte \(q'_z=r'_z=2,5\). Also kann die Deckebene, die durch \(P'\), \(Q'\) und \(R'\) verläuft, nicht parallel zur Grundebene liegen. Die Deckeben kippt bei \(P\) sozusagen ab.

Zur Illustration:

klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene drehen und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck.

Gruß Werner

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So habe ich das auch beschrieben, danke :)

Answer 2

Grundfläche
PQ = Q - P = [12, 0, 0] - [0, -6, 0] = [12, 6, 0]
PR = [0, 12, 0]
Ein Normalenvektor dieser Ebene kann man leicht ablesen mit N1 = [0, 0, 1].

Deckfläche
P'Q' = [2, 2, 0.5]
P'R' = [0, 3, 0.5]
Das [0, 0, 1] kein Normalenvektor ist kann man sehen. Damit sind die Ebenen nicht parallel.

Man kann einen Normalenvektor der Deckfläche auch mit dem Kreuzprodukt bestimmen.
N2 = P'Q' ⨯ P'R' = [2, 2, 0.5] ⨯ [0, 3, 0.5] = [-0.5, -1, 6] = - 0.5·[1, 2, -12]

Man sieht jetzt auch das N1 und N2 nicht linear abhängig sind und damit die Ebenen nicht parallel liegen.

Comments

Ich soll auch sagen, ob der Punkt S(0/0/3) die Spitze ist.

Wie gehe ich da vor ?

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Zeige das S auf den Geraden durch PP', QQ' und RR' liegt,

PS müsste dazu z.B. linear abhängig zu P'S sein.