Welche Fläche beschreibt das Integral in Bezug auf den Integranden

Question

Berechnen Sie \( \int\limits_{-\infty}^{0} \)  x² e^x dx und geben Sie an, welche Fläche dieses Integral mit Bezug auf den Integranden beschreibt!

Mithilfe der partiellen Integration habe ich (x²-2x+2)e^x erhalten und wenn ich die Grenzen einsetze komme ich auf 2.

Ich verstehe aber nicht, was beim zweiten Teil gefragt ist und wie ich da vorgehe

Answer 1

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen x-Achse und Integrand im Intervall \((-\infty, 0]\).

Comments

...weil der Graph der Funktion komplett über der x-Achse liegt.

Wichtige Ergänzung, die unbedingt dazu gehört.

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Laut Aufgabenstellung ist keine Begründung verlangt.

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Die Frage ist halt für den Helfer: Will ich nur eine ablieferbare Lösung liefern oder will ich, dass der Frager was lernt, auch für andere Aufgaben.

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@ nudger

Der Graph liegt über der x-Achse weil es eine eFunktion ist oder?

@oswald

Wenn ich mir den Graphen ansehe, kann ich das irgendwo nachvollziehen aber irgendwie verstehe ich es dann doch nicht wirklich.. :( kannst du das vielleicht nochmal genauer erklären

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\(x^2e^x\ge 0\) für alle \(x\), weil \(x^2\ge 0\) und \(e^x\ge 0\).

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Der Graph liegt über der x-Achse weil es eine eFunktion ist oder?

Es ist keine e-Funktion.

Es ist ein Produkt bei dem der eine Faktor positiv ist weil er die e-Funktion ist und der andere Faktor nicht negativ ist weil er die Normalparabel ist.

aber irgendwie verstehe ich es dann doch nicht wirklich

Was genau verstehst du nicht?

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Ahhh okay warum es über der x-Achse liegt, kann ich nun nachvollziehen

]-∞,0] weil bei x=0 die zwei liegt die ich ausgerechnet habe? Ich verstehe den Bezug noch nicht, sorry wenn ich bisschen langsam bin

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Wenn die Funktion \(f\) oberhalb oder auf der x-Achse verläuft und \(a < b\) ist, dann ist

        \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

der Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen von \(f\) im Intervall \([a,b]\).

Das ergibt sich direkt aus der Definition des Integrals als Grenzwert von Obersummen und Untersummen.

]-∞,0] weil bei x=0 die zwei liegt

Nein.

]-∞,0] weil -∞ und 0 die Integrationsgrenzen sind.

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Achso, okay jetzt verstehe ich es ^^ vielen lieben Dank