Lagrange-Interpolation - Punkt im Intervall f'(x)=3

Question

Sei f(x) das Polynom niedrigsten Grades mit f(−1) = 0, f(1) = −4 und f(4) = 5

a) Bestimmen Sie f(x) mittels Lagrange-Interpolation.
b) Gibt es im Intervall [1; 4] einen Punkt mit f′(x) = 3

Mein Ansatz:

a) L₁=  -4 * \( \frac{(x+1)(x-4)}{(1+1)(1-4)} \) = 2/3 * (x²-3x-4)
  L₂ = 5 *  \( \frac{(x+1)(x-1)}{(4+1)(4-1)} \) = 1/3 (x²-1)

f(x) = L₂ +L₁ = x²-2x-3

b) f'(x) = 2x-2 = 3
  x=1/2 → Nein kein Punkt in dem Intervall

Meine Frage ist, ob Aufgabe b) so stimmt? Scheint mir irgendwie zu einfach. Meistens hab ich was falsch gemacht wenn es zu einfach ist

Answer 1

Meine Frage ist, ob Aufgabe b) so stimmt? Scheint mir irgendwie zu einfach. Meistens hab ich was falsch gemacht wenn es zu einfach ist

Lach. Meist ist es verkehrt, wenn man zu kompliziert denkt. Mathematik ist meist einfach und folgt strikten Regeln.

_{Korrigiert nach Kommentar:}

Du hast unter b) leider die Gleichung verkehrt gelöst gehabt. Die Schlussfolgerung wäre aber folgerichtig gewesen.

Comments

okidoki, danke für die schnelle Antwort (:

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Nur falls hier noch jemand nachliest: Das stimmt nicht.

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Zugegeben, hatte ich die Gleichung nicht nochmals nachgerechnet.

Tatsächlich gilt:

2·x - 2 = 3 --> x = 5/2 = 2.5

Und 2.5 liegt im geforderten Intervall [1; 4].

Danke für die Korrektur

Answer 2

Es ist zwar einfach, trotzdem kann sich mancher verrechnen.

Ich komme auf x=2.5, und das liegt durchaus im angegebenen Intervall.

Comments

wie kommst du auf 2,5

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ohhh Tatsache! Es ist 2,5

2x-2=3 |+2
2x=5
x= 5/2

Dankeschön (:

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Ja, genau so geht das. :-)

Answer 3

Hallo :-)

a) Ist im Grunde nur Rechnen.

b) Es gilt \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{5-(-4)}{3}=3\). Polynome sind stetig und differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es demnach mindestens ein \(x_0\in]1,4[\) mit \(f'(x_0)=3=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\).