Wieso ist sin(90°+alpha)=cos(alpha) und nicht -cos(alpha)?

Question

Aufgabe:

Wieso ist sin(90°+alpha)=cos(alpha) und nicht -cos(alpha)? Erklärung bitte mit dem Einheitskreis.

Problem/Ansatz:

Im 2. Quadrant ist doch -cos(alpha).

Answer 1

Hallo,

Erklärung bitte mit dem Einheitskreis.

ein Bild sagt mehr als 1000 Worte:

Der rote Balken ist der \(\cos(\alpha)\) und der gelbe ist \(\sin(\alpha + 90°)\). Die beiden Punkte auf dem Einheitskreis (blau) kannst Du mit der Maus bewegen.

Zeigt ein Balken nach rechts oder nach oben, so ist der dazu gehörige Zahlenwert positiv. Zeigt er nach links oder nach unten, so ist der Wert negativ.

Gruß Werner

Comments

Top Antwort aufgrund der interaktiven Animation.

Als Ergänzung noch der Verweis auf: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

Answer 2

Aloha :)

Die Co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck zum complentären Winkel übergeht, also zu dem anderen Nicht-90-Grad-Winkel:$$\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$$$$\cos(\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)$$$$\tan(\alpha)=\cot(90^\circ-\alpha)$$$$\cot(\alpha)=\tan(90^\circ-\alpha)$$

In deinem Fall ist also:$$\sin(\pink{90^\circ+\alpha})=\cos(90^\circ-\pink{(90^\circ+\alpha)})=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$$Da die Cosinus-Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt \(\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)\).

Answer 3

Beispiel: alpha= 45°

sin(90°+45°) = sin135° = 1/2*√2

- cos(45°) = -1/2*√2

Der sin ist im 2. Quadranten immer >=0, der cos immer <=0 (negative x-Achse)

Answer 4

Vielleicht kennst du aus der Schule, dass die Kosinusfunktion der Sinusfunktion um 90° vorauseilt und man daher beim Kosinus 90° abziehen muss.

https://www.matheretter.de/wiki/identitat-sinus-kosinus-3

$$\begin{aligned} \sin(\beta) &= \cos(\beta - 90^\circ) &|~~~ \beta = \alpha + 90^\circ \\ \sin(\alpha + 90^\circ) &= \cos(\alpha + 90^\circ - 90^\circ) \\ \sin(\alpha + 90^\circ) &= \cos(\alpha) \end{aligned}$$