Orthogonalbasis und Projektion von Span

Question

Text erkannt:

Es seien
\( w_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) . \)
a) Erstellen Sie aus der Basis \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) (des \( \left.\mathbb{R}^{3}\right) \) mit Hilfe des Gram-Schmidt Algorithmus eine Orthonormalbasis (ONB) \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \). Beachten Sie dabei, dass \( w_{1}, w_{2} \) bereits orthogonal sind.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:
Hallo, ich bräuchte hierfür Hilfe. Habe eine kleine Verständnisfrage für die a). Gehört sozusagen der Koeffizient zu z.B. v₁?
Wäre also v₁ = 1/\( \sqrt{2} \) * \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) oder eher nur \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Und ist meine ONB richtig?
ONB = {1/\( \sqrt{2} \) * \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) , 1/\( \sqrt{2} \) * \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) , 1/4 * \( \begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Zu der b), wegen meiner Verständnisfrage, bin ich mir nicht sicher, mit welchen Vektoren ich arbeiten soll, also ob ein Koeffizient davor ist oder nicht. Desweiteren bin ich mir auch nicht sicher, wie man die Projektion berechnet, da ein Span gegeben ist. Ich weiß, dass ein Span(v₁, v₂) = s*v₁ + t*v₂ bedeutet. Weiß aber nicht, was ich damit machen könnte.
Vielen Dank für jegliche Hilfe oder Ansätze.

Answer 1

Zu a) Deine ONB ist richtig. Wenn nur eine OGB gefragt ist, kannst Du die Faktoren auch weglassen (oder beliebige davor schreiben (außer 0 natürlich)). Für eine ONB wird aber Länge=1 benötigt, daher braucht jeder Vektor einen Faktor.

Zu b) Man kann jeden Vektor (also auch \(x\)) in jeder Basis zerlegen, hier: Koeffizienten \(a,b,c\) finden, so dass \(x=av_1+bv_2+cv_3\). Der Anteil \(av_1+bv_2\) liegt offensichtlich in \(span\{v_1,v_2\}\) und ist \(=P_V(x)\). Hierbei ist \(a=(x,v_1)\) und \(b=(x,v_2)\).

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.
Also verwende ich bei der b) für v₁ = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ?

Und die Formel für P_v(x) wäre dann
P_v(x) = <v₁,x> v₁ + <v₂,x> v₂ ?

       = 2 \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) + 0 \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

       = 2 \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

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Nein, Du brauchst bei b) eine ONB, so steht es auch in der Aufgabe, das sind eben \(v_1,v_2,v_3\), siehe Deine eigene Lösung zu a), also MIT Faktor (weil sonst keine ONB).

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Alles klar, vielen Dank