Aufgabe:
Bestimmen Sie alle a, b, c, d ∈ R, so dass die Funktion h: R2 → R2, h(x) = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)x eine Projektion ist. Welche dieser Projektionen sind Orthogonalprojektionen?
Problem/Ansatz:
Ich habe folgende Matrizen gefunden: \( \begin{pmatrix} a & \frac{a-a^2}{c} \\ c & 1-a \end{pmatrix} \) (mit c ≠ 0), \( \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{a-a^2}{b} & 1-a \end{pmatrix} \) (mit b≠0), \( \begin{pmatrix} 1-d & \frac{d-d^2}{c} \\ c & d \end{pmatrix} \) (mit c ≠ 0), \( \begin{pmatrix} 1-d & b \\ \frac{d-d^2}{b} & d \end{pmatrix} \) (mit b≠0), \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) . Habe ich noch welche übersehen?
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich bei den ersten vier Matrizen herausfinden kann, ob es Orthogonalprojektionen sind. Ich habe jetzt zu allen vier ein Gegenbeispiel genommen, z.B. zu \( \begin{pmatrix} a & \frac{a-a^2}{c} \\ c & 1-a \end{pmatrix} \): A=\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \), x = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \), y=\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) , dann ist x-Ax nicht orthogonal zu Ay. Ist das ein Beweis, dass alle Matrizen der Form \( \begin{pmatrix} a & \frac{a-a^2}{c} \\ c & 1-a \end{pmatrix} \) keine Orthogonalprojektionen bilden? Kann ich mir da einfach so wie ich es gemacht habe eine Matrix aussuchen, obwohl es ja unendlich viele Matrizen dieser Form gibt?
