Vektor wird eine Projektion zugeordnet - Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe: In R^2 wird jedem Vektor x als Bild seine Projektion p auf die Gerade y=mx zugeordnet.

Weißen sie nach dass sich die Abbildung wie folgt darstellen lässt:

p(x)=P[m]*x  x=(x,y)^T, wobei P[m]= (1 / (1+m^2) ) *

1	m
m	m^2

Es gibt ziemlich ähnliche Aufgaben bei denen man wieder einen Vektor hat, dem als Bild die Spiegelung an einer Ebene zugeordnet wird. Auch hier soll man wieder die Abbildung bestimmen.

Desweiteren soll man nachweißen dass es eine lineare Abbildung ist, Bild und Nullraum bestimmen und Dimensionen angeben.

Zum Schluss Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Problem/Ansatz:

Lösungsweg und alles ist vorhanden, aber ich versteh einfach nicht was hier gemacht wird. Hab mehrere verschiedene Bücher als Zusatzquelle, und überall ist es ein bisschen anders. Mich verwirren die Begriffe einfach nur extrem und kann mir deshalb rein gar nichts darunter vorstellen.

Dem Lösungsweg nach sind die Aufgaben nicht schwer, jedoch fehlt mir gerade absolut das Verständnis.

Wäre super nett wenn wir das jemand ein bisschen erklären kann, nach unzähligen Stunden eigener Recherche gebe ich hier auf..

Bitte nichts vorrechnen, eine einfache Erklärung würde mir gerade den Tag retten

Comments

Hallo,

vielelicht helfen Dir die Antworten zu dieser Frage. Ist zwar eine Spiegelung, aber das Prinzip ist das gleiche.

Answer 1

OK,

dann mach Dir ein Bild, z.B

Aus der Gerade f(x)=mx

ermittelst DU die senkrechte Richtung, den Normalenvektor n. Setzt n an dem Vektor v an und schneidest f(x). Das ist das BIld v' der Projektion.

Du machst ein Bild von den Einheitsvektoren und das ergibt die Projektionsmatrix

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Ok das hat schon viel gebracht.

Eine kleine Sache noch.

v´ und v sind bekannt, bzw eben die gerade mx und v der vektor x. Bestimmt werden muss nur noch n. also die senkrechte gerade auf v ´, oder?

Und wie kann ich mir ein Bild vorstellen?

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Noch mehr Bild?

Die Projektion p erfolgt senkrecht zur Geraden f: y = mx (grün).

v ist das Urbild und v' sein senkrecht auf die Gerade fallender "Schatten" ...

Welchen Schatten werfen e₁(1,0) und e₂(0,1) diese Vektroen bilden spaltenweise die Matrix der Abbildung.

f: y=mx ==> n=(m,-1) ==> (m,-1) (x,y)^T = 0

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Ok langsam versteh ich es immer mehr.

Also das Urbild, hier vektor (x,y) wirft einen Schatten auf y=mx.

Wird also auf y=mx projiziert was dann ein Bild dieser Projektion ist.

Die Abbildung welche hier berechnet werden soll ist dann die senkrechte gerade auf der Projektion oder?

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Du redest wirr;-).

Der blaue Vektor v wirft einen grünen "Schatten" v' auf die Gerade f. Dazu mußt du von der Spitze von v senkrecht (graue Normale) zur Geraden f gehen und den Schnittpunkt angeben. Der Schnittpunkt ist dann die Spitze des Bildvektors.

Und das ganze als Matrix P, also

P v = v'

Du kanst im Bild sehen, wie bei unterschiedlichen Steigungen m der Geraden unterschiedliche Vektoren v projeziert werden...

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Uff danke. Ich merk gerade was ich für einen Müll geschrieben habe.. aber gehört ja zum verstehen dazu denke ich mal.

Jeder Vektor x,y hat unendlich Möglichkeiten auf y=mx abgebildet zu werden. Je nachdem welche Steigung mx hat, ändert sich auch die Länge des Vektors.

Also sind alle Abbildungen abhängig von dem Urbild x,y und von der Steigung von y=mx, oder?

Und das ist die Aufgabenstellung hier oder? Eine Vektordarstellung zu finden welche diese beiden Abhängigkeiten mit einbezieht oder?

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Jetzt hast Du's.

Du siehst ja die Abhängigkeit von m an der gegebenen Matrix.

Nochmal, bilde die Einheitsvektoren ab, deren Bilder bilden die Spalten der Projektionsmatrix!

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Also wenn ich ich e1 oder e2 auf z.b. y=x abbilde, komme ich auf (1/2,1/2). Meinst du das?

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Das ist richtig, wenn (1 / 2, 1 / 2) gemeint ist....

Nur musst Du die Abbilung allgemein mit der Geraden y=m x durchführen um auf die Matrix zu kommen ...