Vektorraum und Projektion

Question

Hallo,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen:

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n < ∞, und seien V₁, V₂ Unterräume mit '
V₁ ∩ V₂ = {0} und V₁ + V₂ = V .

1. Zeigen Sie, dass V₁ = Bild P und V₂ = Kern P. (Insbesondere kann man V₁ und V₂ aus P bestimmen.)

2. Zeigen Sie umgekehrt, dass es für jeden Endomorphismus P ∈ L(V) mit

P² = P Unterräume V₁ und V₂ gibt mit V₁ ∩ V₂ = {0}, V₁ + V₂ = V und P(v) = v₁

ich bedanke mich schon im Voraus für jede Hilfe!

Comments

Hallo

es fehlt die Def von P

lul

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Ich gehe stark davon aus, dass P die Projektion ist mit der Definition:

Sei V ein Vektorraum. Ein Vektorraum-Endomorphismus P:V→ V heißt Projektion, falls er idempotent ist, also wenn P°P=P gilt.

Genaueres steht in der Aufgabe nicht.

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Ich gehe stark davon aus, dass in der Aufgabe vor der ersten Erwähnung von P die Definition fehlt und (hoffentlich) aus der Vorlesung zu ergänzen ist:

$$P:V \to V, P(v):=v_1 \text{ wobei }v=v_1+v_2 \text{ mit } v_i \in V_i$$