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Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihen \( \sum \limits_{n \geq 1} x_{n} \) auf Konvergenz, wenn \( x_{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \) gegeben ist durch

 \( x_{n}=\frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \),


Problem/Ansatz:

Ich habe mir das ganze schon mit Quotienten- und Wurzelkriterium angeschaut und bin Schluss gekommen, dass das nicht wirklich was bringt. Als nächstes habe ich versucht das ganze mit Majorantenkriterium gegen 1/k^2 abzuschätzen, indem ich den Bruch mit dritter binomischer Formel erweitern habe. Das ganze hat aber auch nicht wirklich funkioniert. Habt ihr Tipps mit was ich da am besten rangehe?

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Erweitere mit \((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\).

Oh, habe erst jetzt gesehen, dass du den "Trick" mit der

Erweiterung bereits selbst verwendet hast, sorry!

Du hast \(1/2\sum \frac{1}{n^s}\) mit \(s=3/2\) als Majorante.

Mit dem Verdichtungssatz kannst du die Konvergenz von

\(\sum\frac{1}{n^s}\) für \(s> 1\) beweisen, siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Damit kannst du das Problem auf eine konvergente geometrische

Reihe zurückführen

Avatar von 29 k

Richtig, ich komme dann auf 1/(n*(sqrt(n+1)+sqrt(n))). (sorry ich beherrsche LaTeX nicht)


Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das am besten weiter abschätze

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Ich danke dir für deine Hilfe! Habe gerade festgestellt, das wir die Konvergenz von der Majorante sogar schon in der Vorlesung gezeigt haben. Das hatte ich vorhin übersehen

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