Konvergenz einer Reihe berechnen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihen \( \sum \limits_{n \geq 1} x_{n} \) auf Konvergenz, wenn \( x_{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \) gegeben ist durch

 \( x_{n}=\frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \),

Problem/Ansatz:

Ich habe mir das ganze schon mit Quotienten- und Wurzelkriterium angeschaut und bin Schluss gekommen, dass das nicht wirklich was bringt. Als nächstes habe ich versucht das ganze mit Majorantenkriterium gegen 1/k^2 abzuschätzen, indem ich den Bruch mit dritter binomischer Formel erweitern habe. Das ganze hat aber auch nicht wirklich funkioniert. Habt ihr Tipps mit was ich da am besten rangehe?

Comments

Habe meine Antwort ergänzt !

Answer 1

Erweitere mit \((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\).

Oh, habe erst jetzt gesehen, dass du den "Trick" mit der

Erweiterung bereits selbst verwendet hast, sorry!

Du hast \(1/2\sum \frac{1}{n^s}\) mit \(s=3/2\) als Majorante.

Mit dem Verdichtungssatz kannst du die Konvergenz von

\(\sum\frac{1}{n^s}\) für \(s> 1\) beweisen, siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Damit kannst du das Problem auf eine konvergente geometrische

Reihe zurückführen

Comments

Richtig, ich komme dann auf 1/(n*(sqrt(n+1)+sqrt(n))). (sorry ich beherrsche LaTeX nicht)

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das am besten weiter abschätze

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Habe meine Antwort erweitert !

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Ich danke dir für deine Hilfe! Habe gerade festgestellt, das wir die Konvergenz von der Majorante sogar schon in der Vorlesung gezeigt haben. Das hatte ich vorhin übersehen