Induktion mit Brüchen

Question

Hallo ich soll diese Aufagbe mit vollständiger Induktion lösen und komme zu keinem Ergebnis, kann mir die jemand lösen

Vielen Dank schonmal

Text erkannt:

\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{(n-1)}}=2\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \)

Comments

Ohne Induktion:

Es ist eine geometrische Reihe

mit a0 = 1= (1/2)^0, q= 1/2

von n= 0 bis n-1

1/(2^(n-1)) = 2/2^n

Ginge sie von 0 bis n wäre der Summenwert 1/(1-1/2)= 2

Dieser Summenwert verringert sich um 1/2^n.

-> Summenwert: 2-1/2^n = 2/(1-1/(2^(n-1))

Answer 1

Schaffst du den Induktionsanfang alleine ? Also das die Gleichung für n = 1 gilt ?

Für den Induktionsschritt musst du die Gültigkeit folgender Gleichung zeigen:

1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n - 1) + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1))
2·(1 - 1/2^n)  + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1))

Probier das mal und sag dann konkret, wobei du genau Probleme hast.

Comments

Also genau soweit bin ich  2·(1 - 1/2n)  + 1/2^n , nur das ich nicht auf das Ergbenis komme. Beim Fehler liegt da bei der Bruchrechnung, wär es möglich das mal auszurechnen ? Ich verzweifel da voll dran

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2·(1 - 1/2^n) + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1))

2 - 2/2^n + 1/2^n = 2 - 2/2^(n + 1)

2 - 1/2^n = 2 - 1/2^n

offensichtlich wahr

Answer 2

Es gelte \(1+1/2+\cdots +1/(2^{n-1})=2(1-1/2^n)\quad A(n)\).

Induktionsschritt: zu zeigen \(A(n)\Rightarrow A(n+1)\):

\(1+1/2+\cdots 1/2^{n-1}+1/2^n=2(1-1/2^n)+1/2^n\) wegen \(A(n)\).

Das ergibt

\(2(1-1/2^n)+2/2^{n+1}=2(1-1/2^n+1/2^{n+1})=2(1-1/2^{n+1})\quad A(n+1)\)