Aufgabe:
Eine Person wirft eine Münze und trifft Vorhersagen für das Ergebnis den Wurf. Erstaunlicherweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine falsche Vorhersage trifft, nur bei 1/4. Dabei sei die Vorhersage unabhängig von den anderen Vorhersagen. Wie oft muss die Münze nun geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 der Vorhersagen nicht falsch sind, durch eine Abschätzung mit der Tschebyscheff-Ungleichung garantiert größer als 26/27 wird?
Mein bisheriger Ansatz:
Es sei xi~Ber(1/4) eine bernoulliverteilte Zufallsvariable mit i = 1, ..., n, wobei 1 dafür steht, dass die Vorhersage falsch ist und 0 für alles Sonstige. Die Aussage, dass von N Vorhersagen mindestens 4 korrekt sind, ist äquivalent zu der Aussage, dass N-4 Aussagen falsch sind. Definiere SN := \( \sum\limits_{i=1}^{N}{Xi} \), dann moderlliere SN ~ Bin(N,1/4) als die Anzahl der eingestürzten Sandburgen. Es gilt E(x) = \( \sum\limits_{i=1}^{N}{Xi} \) P({w}), w∈{0,1}.
Da xi entweder 0 oder 1 annimmt, können die Nullterme vernachlässigt werden. Es ergibt sich \( \sum\limits_{i=1}^{N}{1 * \frac{1}{4}} \) = \( \frac{N}{4} \).
Als Nächstes sollte ich die Varianz bestimmen, ist das einfach nur V(x) = N * 3/4 * 1/4 oder übersehe ich da was? Und dann müsste ich doch P(Sn ≤ N-4) > 27/28 auf eine allgemeine Form bringen und umformen, doch ab da hapert es. Sind meine bisherigen Überlegungen gut und was sind ab da die restlichen Lösungsschritte? Vielen Dank im Voraus!
