Bestimmen sie das Urbild f^-1 (]0; 15])

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie das Urbild f^-1 (]0; 15])

f(x)= x^2-1

Problem/Ansatz:

Obere Grenze:

15=x^2-1

16=x^2

x=+4,-4

Bei der unteren Grenze bin ich mir nicht sicher, weil 0 ja nicht mit reinzaählt wegen dem halboffenen Intervall.

Was setzte ich statt dessen ein?

Answer 1

f^-1 ist die Umkehrung von f.

f^-1(x)=±\( \sqrt{x+1} \).

Das Urbild ist [-4,4]\[-1,1].

Comments

f(1)=0, also gehört 1 nicht zum Urbild.

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Stimmt nicht. Und es gibt hier auch keine Umkehrfunktion.

Answer 2

Du bekommst ja für 4 und -4 den Funktion den Funktionswert 15.

Dazwischen sind die Funktionswerte kleiner als 15 und zwischen -1 und 1 sind

sie sogar negativ und bei -1 und 1 sind sie 0.

Also ist das gesuchte Urbild:

f^-1 (]0; 15]) = [-4;-1[ ∪ ]1;4]

Answer 3

Mit Umkehrfunktionen haben wir hier nichts zu tun. Es geht um das Finden aller \(x\)-Werte, für die \(f(x)\in (0,15]\) gilt. Mit dem Einsetzen der Randpunkte alleine ist es aber nicht getan. Das geht nur bei monotonen Funktionen so, oder wenn man sich sonstwie Überblick über den Verlauf verschafft hat.

Hier haben wir ja eine verschobene Normalparabel, Skizze schafft Überblick.

Dass die 0 nicht zum Bild gehören soll, regelt man am besten so, dass man erstmal mit der 0 rechnet und die Urbilder der 0 am Ende wieder rausnimmt. Also:

\(f^{-1}([0,15])= [-4,-1]\cup [1,4]\). Dann Urbilder der 0 rausnehmen (also \(-1\) und \(1\)) ergibt: \(f^{-1}((0,15])=[-4,1)\cup (1,4]\).

Answer 4

\(x\in f^{-1}(]0,15])\iff x^2-1=f(x)\in ]0,15]\iff\)

\(x^2\in ]1,16]\iff 1 < x^2\leq16\iff\)

\(-4\leq x<-1\vee 1< x\leq 4\iff x\in [-4,-1[ \, \cup \, ]1,4]\)