Was muss unter der Wurzel stehen? Quartische Funktion f(x)= 3x^4+2x^3-5x^2+3

Question

Bei Quadratischen Gleichungen gibt es doch die ABC Formel (b²-4ac=0 oder 1....)

wenn man jetzt aber eine Gleichung hat die lautet f(x)= 3x⁴+2x³-5x²+3 hat man ja mehr Variablen wie AB und C.

 

Gibt es dafür eine andere Formel wenn ja welche ??

 

Danke ;)

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Suchst  du denn die Nullstellen oder eventuell die Zahl der Extremalstellen?

Answer 1

Hi,

in der Tat gibt es auch eine Lösungsformel für quartische Gleichungen. Die wird aber meist nicht verwendet; ist sogar meist unbekannt (ich selbst kenne sie auch nicht):

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung


Hier würde das wohl auf das Newton-Verfahren hinauslaufen: https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Kämen ganzzahlige Nullstellen raus, dann wäre Polynomdivision noch eine Option ;).


Grüße

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Kennt keiner die Formel ??

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wiki kennt sie doch?

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Doch Wolframalpha. Aber für Schüler und die meisten Studenten findet diese Formel keine Anwendung.

Answer 2

Also hier gilt. Nullstelle suchen und dann Polynomdivision anwenden.

3·x^4 + 2·x^3 - 5·x^2 + 3 = 0

Dummerweise findet man keine rationalen Nullstellen. Daher muss man hier nähern.

x = -1.483801179 oder x = -0.8008429119

Die Lösungen findet man mit dem Newtonverfahren oder einem Taschenrechner der das Newtonverfahren beherrscht.

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Ich hab in der Schule nämlich eine Aufgabe bei der eine Parabel gegeben war. Dann sollte man eine Ursprungsgerade bestimmen, die Tangente an die Parabel ist.


hier die Parabelgleichung:

f(x)=4/9(x-6)(x-0)
Vlt. kann jemand die Aufgabe mit ausführlichem Lösungsweg lösen.

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f(x) = 4/9·(x - 6)·(x - 0) = 4/9·x^2 - 8/3·x

Hier kann man direkt die Steigung der Parabel im y-Achsenabschnitt mit -8/3 ablesen.

Die Tangente lautet also

t(x) = - 8/3·x

Skizze

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Gibt es dafür auch eine rechnerische Lösung??

Und wie hast du die Steigung bestimmt ??

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Man hätte also die Lösung mit Formel auch
x1 = - √(2·√((3138661 - 59652·√1213)^{1/3} + (59652·√1213 + 3138661)^{1/3} - 11·(1657 - 18·√1213)^{1/3} - 11·(18·√1213 + 1657)^{1/3} - 12) - (1657 - 18·√1213)^{1/3} - (18·√1213 + 1657)^{1/3} + 22)/6 - √((1657 - 18·√1213)^{1/3} + (18·√1213 + 1657)^{1/3} + 11)/6 - 1/6

x2 = √(2·√((3138661 - 59652·√1213)^{1/3} + (59652·√1213 + 3138661)^{1/3} - 11·(1657 - 18·√1213)^{1/3} - 11·(18·√1213 + 1657)^{1/3} - 12) - (1657 - 18·√1213)^{1/3} - (18·√1213 + 1657)^{1/3} + 22)/6 - √((1657 - 18·√1213)^{1/3} + (18·√1213 + 1657)^{1/3} + 11)/6 - 1/6

angeben können. Ich wage aber das das eventuell jemandem nützt :)

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Wie jast du die Steigung bestimmt ??

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Die Steigung bestimmt man mit der ersten Ableitung. Ich weiß nicht ob ihr die schon hattet. Ansonsten müsstest du die Parabel mit der geraden schneiden

4/9·x^2 - 8/3·x = k·x

4/9·x - 8/3 = k

k = 4/9·x - 8/3 = 4/9·0 - 8/3 = - 8/3

Damit es nur bei 0 die Lösung gibt muss k = -8/3 sein.