Nehmen wir uns die Collatz Folge
Das ist schon ein durchaus kritischer Satz, denn "die" Collatz-Folge existiert gar nicht. Viel eher existiert für jede natürliche Zahl eine Folge von Iterierten, die eben durch die Collatz-Funktion berechnet werden. Die Vermutung ist: Für jede Startzahl endet die Folge der Iterierten in dem Zyklus (1, 2, 4).
Nehmen wir uns die Collatz Folge, nach einer Analyse habe ich festgestellt das man das nächste ungerade Glied der Collatz Folge, wie folgt definieren kann, sofern Cn ungerade ist. $$ C_{n+1} = \frac{3\cdot C_n+1}{\gcd(3\cdot C_n+1,2^{3\cdot C_n+1})} $$ Dabei gibt der gcd die größte 2er Potenz an die in der neuen geraden Collatzzahl enthalten ist.
Das Problem kann durchaus angepasst werden, indem man die Iterationsvorschrift kann dahingehend modifiziert.
Das Newton Verfahren hat die Form \( x_{n+1} = x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) und wenn man x mit C ersetzt erhält man: \( C_{n+1} = C_n- \frac{f(C_n)}{f'(C_n)} = \frac{C_n\cdot f'(C_n)-f(C_n)}{f'(C_n)} \).
Das Newton-Verfahren ist eine Iterationsvorschrift, die zu einer gegebenen Funktion und einem gegebenen Startwert Eine Iterationsfolge über
$$ x_{n+1} := x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$
berechnet. Insofern muss man das \( f \) spezifizieren und kann dann da auch nicht einfach beliebige Folgen einsetzen und erwarten, dass immer noch Gleichheit gilt.
Dein Ziel könnte es sein eine Funktion \( f \) zu bestimmen, für die mit \( C_1 =m \in \mathbb N \) die Gleichheit
$$ C_{n+1} = C_n + \frac{f(C_n)}{f'(C_n)} \quad \forall n\in\mathbb N$$
gilt. Dazu kann man
$$ \frac{3\cdot C_n+1}{\gcd(3*C_n+1,2^{3\cdot C_n+1})} = C_{n+1} \stackrel{!}{=} \frac{C_n*f'(C_n)-f(C_n)}{f'(C_n)} $$
betrachten und schauen, ob man daraus eine Funktionsvorschrift gewinnen kann. Wichtig ist, dass die zweite Gleichheit (mit ! gekennzeichnet) nur für bestimmte Funkionen \( f \) gilt und man ein solches \( f \) erst noch bestimmen muss. Die Existenz einer solchen Funktion und ob sie in irgendeiner Form elementar ist, sei mal dahingestellt.
Wenn wir die Nenner und Zähler vergleichen erhalten
Dieser Schritt ist nicht gerechtfertig, denn:
1. Da wir f nicht kennen, können wir nicht sagen, dass der Nenner und Zähler des zweiten Bruchs ganzzahlig sind.
2. Wenn wir dies als Zusatzannahme voraussetzen, können wir den Schluss aber immer noch nicht durchführen, da der Bruch auf der linken Seite nie vollständig gekürzt ist. Über den Bruch auf der rechten Seite haben wir überhaupt keine Aussage.
Bsp.: Aus der Gleichheit 3/5 = 9/15 folgt nicht 3=9 und 5=15.
Also ist dieser Ansatz aller Voraussicht nach nicht zielführend.