Aufgabe:
Sei p > 1, f(x) ∈ Cp+1 ([a,b]) und in ξ ∈ [a,b] liege eine isolierte p-fache Nullstelle von f vor.
a) Für die Iterierte xn (mit xn ≠ ξ) des Newton Verfahrens gilt
\( \frac{ xn+1 - ξ }{ xn - ξ } \) = 1 - \( \frac{φ(xn)}{p*φ(xn) + (xn - ξ) * φ'(xn)} \).
Begründen Sie, weshalb das Newton Verfahren hier nicht quadratisch konvergiert.
b) Das modifizierte Newton Verfahren
xn+1 = xn - p \( \frac{f(xn)}{f'(xn)} \)
konvergiert quadratisch.
Problem/Ansatz:
a) i)Da in ξ eine p-fache Nullstelle vorliegt, gilt: f(x) = (x-ξ)p * φ(x)
Wenn man das einsetzt, kommt man schnell auf das, was zu zeigen ist.
ii) Wenn (xn - ξ) gegen 0 geht, steht dort 1 - \( \frac{φ(xn)}{p* φ(xn)} \) = 1 - \( \frac{1}{p} \), was für p > 1 keine quadratische Konvergenz bedeutet.
b) Bei der b komme ich auf kein Ziel.
