Nullstelle iterativ mit Newton-Verfahren bestimmen

Question

Aufgabe:

Mithilfe des Newton-Verfahrens soll die Lösung des Gleichungssystems iterativ bestimmt werden.

Das Gleichungssystem : $$ \begin{array}{r} x^{2}-\frac{y^{2}}{6}+y=9 \\ x+y^{2}=7 \end{array} $$

Als Startwert für die Nullstelle im zweiten Quadranten soll benutzt werden : $$ \left(\begin{array}{l} x_{0} \\ y_{0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 3 \end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Ich habe das Gleichungssystem nach 0 umgestellt, in eine Matrix geschrieben und zusätzlich die Jakobi-Matrix gebildet.

So sieht das Ganze jetzt aus: $$ f(x, y)=\left(\begin{array}{c} x^{2}-1 / 6 \cdot y^{2}+y-9 \\ x+y^{2}-7 \end{array}\right) \rightarrow f^{\prime}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} 2 \cdot x & -1 / 3 \cdot y+1 \\ 1 & 2 \cdot y \end{array}\right) $$

Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich weiter vorgehe. Wie ich von meinem x0 auf mein x1 komme. Also die erste Iteration.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Das Newton-Verfahren ist iterativ. Dabei wird die zu lösende Gleichung$$\vec f(\vec x)=\vec b$$bei einem Startwert \(\vec a\) linearisiert$$\vec f(\vec a+\vec x)\approx\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)$$Dann wird das Gleichungssystem für diese Linearisierung gelöst$$\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec b$$ und die Lösung \(\vec x\) dient dann als neuer Startwert \(\vec a\) für den nächsten Iterationsschritt.

Hier haben wir folgende konkrete Situation:$$\vec f(\vec x)=\binom{x^2-\frac{y^2}{6}+y}{x+y^2}=\binom{9}{7}$$Das führt auf folgende Linearisierung:$$\binom{a_1^2-\frac{a_2^2}{6}+a_2}{a_1+a_2^2}+\left(\begin{array}{cc}2a_1 & -\frac{a_2}{3}+1\\1 & 2a_2\end{array}\right)\binom{x_1-a_1}{x_2-a_2}=\binom{9}{7}$$

Zum Glück konvergiert das Newton-Verfahren extrem schnell:

Answer 2

Aus f'(x,y) ==> f'(x,y)^-1

\(\small J_{inv}(x,y) \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}6 \cdot \frac{y}{12 \; x \; y + y - 3}&\frac{y - 3}{12 \; x \; y + y - 3}\\\frac{-3}{12 \; x \; y + y - 3}&6 \cdot \frac{x}{12 \; x \; y + y - 3}\\\end{array}\right)\)

und

\(Newton(x, y) \, :=  \, \left(\begin{array}{r}x\\y\\\end{array}\right) - J_{inv}(x,y) \; F\left(x, y \right)\)

gerechnet mit GGB

https://www.geogebra.org/m/zzjzgzwt

IterationList({ Newton(Element(a, 1) (1,0) ,Element(a, 1) (0,1) ) }, a, {{(-3,3)}}, 3)

\(\left(\begin{array}{r}\left(-3, 3 \right)\\\left(-2.75, 3.125 \right)\\\left(-2.73908, 3.12075 \right)\\\left(-2.73906, 3.12075 \right)\\\end{array}\right)\)