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Das Newton-Verfahren dient zur numerischen Berechnung von Nullstellen. Für die Kurve K1 ist \(t=1\), und es soll die Nullstelle der Funktion$$f(x):=f_1(x)-2=0,2x^3-0,6x^2+0,65x-2$$ ausgehend vom Näherungswert \(x_0=3\) verbessert werden. Beim Newton-Verfahren berechnet man die Tangente an die Funktion am Näherungswert, hier also die Tangente bei \(f(3)\), und nimmt den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse als neuen Näherungswert für \(x\). Die Tangente an der Stelle \(x_0\) lautet:
$$t(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot(x-x_0)$$Die Stelle \(x_1\), für die \(t(x_1)=0\) gilt, ist der neue Näherungswert:$$t(x_1)=0\quad\Leftrightarrow\quad f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot(x_1-x_0)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$Zur Berechnung:
$$f(3)=0,2\cdot3^3-0,6\cdot3^2+0,65\cdot3-2=-0,05$$$$f^\prime(x)=0,6x^2-1,2x+0,65\quad\Rightarrow\quad f^\prime(3)=0,6\cdot3^2-1,2\cdot3+0,65=2,45$$$$x_1=3-\frac{-0,05}{2,45}\approx3,0204$$
