DrehkörperBerechnen f(x)= \( \sqrt{x} \) * e^(-0,5x)

Question

f(x) = \( \sqrt{x} \)  * e^(-0,5x)

Zur Herstellung eines Rundkolbens wird die Kurzve mit der Gleichung y= f(x) zweischen x= 0 und x = b um die x-Achse gedreht.

a) Berechnen sie das Volumen Vb des erzeugenten Drehkörpers in Abhängigkeit von b.

b) Zeigen Sie: Lim (b-> infinity) Vb = Pi.

für Die Stammfunktion müsste

8*arctan(x)+(8*x)/(x^2+1) Rauskommen oder?

Könnt ihr mir bitte bei der a noch und bei b weiter Helfen^^

Vielen Dank

Answer 1

für Die Stammfunktion müsste 8*arctan(x)+(8*x)/(x2+1) Rauskommen oder?

Du musst die quadrierte Funktion integrieren.

\(\displaystyle\int f^2(x)\, dx = (-x-1)\cdot e^{-x} +C\)

\(V=\pi\left [((-b-1)\cdot e^{-b}) - ((-0-1)\cdot e^{-0})\right ]=\pi \left(1+(-b-1) e^{-b} \right)\)

b)

\(\lim\limits_{b\to \infty} \pi \left(1+(-b-1) e^{-b} \right) = \pi \lim\limits_{b\to \infty} \left(1+(-b-1) e^{-b} \right)= \pi \left(1+\lim\limits_{b\to \infty} [(-b-1) e^{-b}] \right)\)

wobei \((-b-1) e^{-b} = -e^{-b}b-e^{-b}\) ist.

\(e^{-b}=\dfrac{1}{e^b} \rightarrow \lim\limits_{b\to \infty} e^{-b}=0\), den ersten Term mit L'Hopital. Somit ergibt sich \(\pi \left(1+ [-0-0] \right)= \pi \cdot 1 =\pi\)

Comments

Danke

Ich verstehe aber leider nicht wie du auf

(-x-1) part kommst.

Und ich hatte davor eigentlich quadriert.

Und dann erst stammfunktion gebildet.habe ich dann irgwo einen Fehler^^

Muss ja so sein.

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\(f^2(x)=xe^{-x}\)

Soweit klar?

Und dann mit Produktintegration weiter.

\(\displaystyle\int xe^{-x}\, dx = [-e^{-x}x] - \displaystyle\int e^{-x}\,dx=[-e^{-x}x] -e^{-x}+C\)

\(e^{-x}\) ausgeklammert ergibt dann \(e^{-x}(-x-1)\).

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Achso !

Vielen Dank :)