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Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung \( \begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2+2x_3^2 \\ -x_1+2x_2 \\ x_2+x_3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \)

approximativ mittels zweier Iterationsschritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x(0) = (0, 0, 1).


Problem/Ansatz:

Wir haben das mehrdimensionale Newton-Verfahren bisher nur zur Nullstellensuche verwendet.

Muss ich hier dann einfach die Gleichung umformen, sodass sie so aussieht?

\( \begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2+2x_3^2-2 \\ -x_1+2x_2-2 \\ x_2+x_3-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\)


Irgendwie komme ich aber nach der 1. Iteration dann wieder auf x(1)=(0,0,1), also hat sich mein Wert überhaupt nicht angenähert...

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Aloha :)

Die Idee hinter dem Newton-Verfahren ist es, nicht die Gleichung$$\vec f(\vec x)=\vec b$$direkt zu lösen, sondern die Funktion \(\vec f\) an einer Stelle \(\vec a\) zu linerisieren$$\vec f(\vec a+\vec x)\approx\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)$$das Gleichungssystem für diese Linearisierung zu lösen$$\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec b$$ und die erhaltene Lösung \(\vec x\) als neuen Anfangswert \(\vec a\) für weitere Iterationsschritte zu verwenden.

Numerisch sieht man davon ab, die Lösung mittels der inversen Jacobi-Matrix \(J_{\vec f}^{-1}(\vec a)\) zu bestimmen, sondern löst das Gleichungssystem in der Regel direkt.

In dem konkreten Fall lautet die Linearisierung allgemein:$$\begin{pmatrix}a_1^2+a_2^2+2a_3^2\\-a_1+2a_2\\a_2+a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2a_1 & 2a_2 & 4a_3\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$

Im ersten Iterationsschritt ist \(\vec a=(0;0;1)\) und das Gleichungssystem lautet:$$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 & 4\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$

Es liefert als Lösung \(\vec x=(-2;0;1)\), was unser neuer Startwert \(\vec a\) wird:$$\begin{pmatrix}6\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4 & 0 & 4\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1+2\\x_2\\x_3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$Das liefert im zweiten Iterationsschritt \(\vec x=\left(-\frac43;\frac13;\frac23\right)\).

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Super, jetzt habe ich es verstanden. Konnte es jetzt auch selbst berechnen. Vielen Dank! :)

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Muss ich hier dann einfach die Gleichung umformen, sodass sie so aussieht?

Ja, dann gilt \(x_{k+1}=x_k-J_f(x_0)^{-1}f(x_0)\), wobei \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3: x\mapsto \begin{pmatrix} x_1^2+x_2^2+2x_3^2-2 \\ -x_1+2x_2-2 \\ x_2+x_3-1 \end{pmatrix} \). Berechne also die Inverse von \(J_f((0,0,1)\). Ich erhalte da \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 &0 \end{pmatrix}\). Außerdem ist \(f(0,0,1)=(-1,-2,0)\). Und damit \(x_1=(-3,-0.5,1.5)\).

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