Aloha :)
Die Idee hinter dem Newton-Verfahren ist es, nicht die Gleichung$$\vec f(\vec x)=\vec b$$direkt zu lösen, sondern die Funktion \(\vec f\) an einer Stelle \(\vec a\) zu linerisieren$$\vec f(\vec a+\vec x)\approx\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)$$das Gleichungssystem für diese Linearisierung zu lösen$$\vec f(\vec a)+J_{\vec f}(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec b$$ und die erhaltene Lösung \(\vec x\) als neuen Anfangswert \(\vec a\) für weitere Iterationsschritte zu verwenden.
Numerisch sieht man davon ab, die Lösung mittels der inversen Jacobi-Matrix \(J_{\vec f}^{-1}(\vec a)\) zu bestimmen, sondern löst das Gleichungssystem in der Regel direkt.
In dem konkreten Fall lautet die Linearisierung allgemein:$$\begin{pmatrix}a_1^2+a_2^2+2a_3^2\\-a_1+2a_2\\a_2+a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2a_1 & 2a_2 & 4a_3\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$
Im ersten Iterationsschritt ist \(\vec a=(0;0;1)\) und das Gleichungssystem lautet:$$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 & 4\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$
Es liefert als Lösung \(\vec x=(-2;0;1)\), was unser neuer Startwert \(\vec a\) wird:$$\begin{pmatrix}6\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4 & 0 & 4\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1+2\\x_2\\x_3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$Das liefert im zweiten Iterationsschritt \(\vec x=\left(-\frac43;\frac13;\frac23\right)\).
