Ich schlage vor, die Menge der möglichen Ereignisse \(([a,a+1],[b,b+1])\)
durch die linken Ränder zu modellieren:
\(G=\{(a,b):\; 0\leq a,b\leq N-1\}=[0,N-1]\times[0,N-1]\).
Das Komplement der Überlappungsfälle ist dann
\(K=\{(a,b)\in G:\; a+1< b\vee b+1 < a\}\).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann für \(N>1\)
\(p=1-\frac{\mu(K)}{\mu(G)}=1-\frac{\mu(K)}{(N-1)^2}\), wobei \(\mu\) die Fläche,
das (Lebesguesche) Flächenmaß) ist.
Dies lässt sich aus Symmetriegründen auch so angeben:
\(H=\{(a,b): \; a\in G\wedge a\leq b\}\) und
für das Komplement \(L\) der Überlappungsfälle
\(L=\{(a,b)\in H: \; a+1< b\}\). Dann ist
\(p=1-\frac{\mu(L)}{\mu(H)}=1-2\frac{\mu(L)}{(N-1)^2}\)