Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Intervalle sich überschneiden?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe.

Wir haben ein Intervall der Länge N mit N∈Ν. Nun bestimme ich zwei Intervalle der Länge 1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Intervalle sich überschneiden?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht weiter. Ich würde mich sehr über Tipps freuen.

Liebe Grüße

Comments

Wenn njichts Näheres über die Auswahl der beiden (Teil-) Intervalle gesagt wird, kann man die Antwort nur mit Hilfe einer geeigneten Kristallkugel geben.

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Du kannst Dich bei dieser Frage

leider nicht mehr genau an den Wortlaut erinnern

und hattest

vergessen zu schreiben.

Aber Antworten müssen her. Das ist interessant.

Answer 1

Beantworte die Frage mal für N = 1, 2, 3, ...

Äußere jetzt eine Vermutung.

Comments

spontan geraten: 2/N für N > 1?

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Du meinst also für N = 3 wäre die Wahrscheinlichkeit 2/3?

Vielleicht kannst du das an einer Skizze verdeutlichen?

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Hier eine typische Aufgabenstellung für N = 10.

Die hiesige Minigolfanlage hat sonntags von 11 bis 21 Uhr (10 Stunden) geöffnet. Sowohl ich als auch eine gute Freundin planen am nächsten Sonntag dort unabhängig voneinander jeweils eine Stunde Minigolf zu spielen. Dabei sei die Wahl des Zeit-Intervalls gleich verteilt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns am nächsten Sonntag dort treffen?

Diese Frage aber erst beantworten, wenn es für N = 1, 2, 3, ... klar ist.

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Ich weiß nicht, was du mit Skizze meinst.

Für N=1 und N = 2 ist W = 1.

Für N = 3 ist sie < 1, aber vom Gefühl her sollte sie größer als 1/3 sein.

Darum habe ich auf 2/N getippt.

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Für N = 1 und N = 2 ist sie 1. Das ist völlig richtig. Und für N = 3 ist sie < 1 und auch großer als 1/3.

Aber es handelt sich hier um Mathematik und nicht um irgendwelche Ratespiele.

Wie man vorgeht, hat ermanus inzwischen schon näher verraten. Man kann a und b als die jeweiligen linken Intervallgrenzen nehmen. Für ein beliebiges a im Intervall von 0 bis N - 1 gibt es auch ein b im Intervall von 0 bis N - 1, sodass sich die Intervalle überlappen, diese Kombinationen von a und b könnte man ja mal versuchen grafisch darzustellen. Ich vermute, das entspricht einer Fläche im zweidimensionalen Koordinatensystem. Wenn man das hat, dann kann man auch leicht die Wahrscheinlichkeit bestimmen.

Ich würde das also zunächst für N = 3 machen und evtl. dann noch für N = 4. Dann sollte man aber erkennen, wie es für ein beliebiges N aussehen sollte.

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Rein Formal wäre die Wahrscheinlichkeit:

$$P = \frac{\int \limits_{0}^{n-1} ~ \int \limits_{\max(a-1,~0)}^{\min(a+1,~n-1)} ~ 1 ~ db ~ da}{(n-1)^2}$$

Für n ≥ 2 ist das auch

$$P = \frac{2·n - 3}{(n - 1)^2}$$

Answer 2

Wenn die beiden Intervalle der Länge 1 zufällig irgendwo zwischen minus unendlich und plus unendlich angesiedelt werden können, ist die Wahrscheinlichkeit des Überschneidens gleich null.

Präzisiere die Aufgabenstellung.

Comments

Ich kann mich leider nicht mehr genau an den Wortlaut erinnern. Die Aufgabe kam in einer Klausur letztes Jahr vor. Es ging darum eine Formel für die Wahrscheinlichkeit aufzustellen, so dass man für ein beliebiges N die Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

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Fehlt da nicht die Voraussetzung, dass die beiden Intervalle der Länge 1 vollständig im Intervall der Länge N liegen sollen?

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Ja, dass hatte ich vergessen zu schreiben.

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Ja, dass hatte ich vergessen zu schreiben.

Das hast du zwar vergessen, aber vermutlich kommen auch nur wenige auf die Idee, wenn ein Intervall der Länge N gegeben ist, die beiden Intervalle der Länge 1 dann aus R zu nehmen.

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Wenn man die Intervalle der Länge 1 aus N nimmt hätte ich als Lösung 1/N. Stimmt das?

Wäre die Aufgabe denn lösbar wenn man die Intervalle der Länge 1 aus R nimmt? Falls ja wie müsste man dann an die Aufgabe rangehen?

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Wäre die Aufgabe denn lösbar wenn man die Intervalle der Länge 1 aus R nimmt? Falls ja wie müsste man dann an die Aufgabe rangehen?

Dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null, wie abakus bereits richtig mitgeteilt hat.

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Wenn man die Intervalle der Länge 1 aus N nimmt hätte ich als Lösung 1/N. Stimmt das?

Wie in einem Kommentar unter meiner Antwort auch an dich die Frage: Könntest du deine Vermutung zeichnerisch verdeutlichen?

War das eine Vermutung oder beruht das 1/N auf einer Rechnung? Ich habe bereits in meiner Antwort vorgeschlagen das für N = 1, 2, 3 vielleicht einfach mal zu probieren und dann eine Vermutung zu äußern.

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Okay danke! Wenn ich die Aufgabe jetzt aber abwandeln würde und sagen würde dass wir ein Intervall der Länge 10 haben und in diesem zwei Intervalle der Länge 1 aus R nehmen und die Wahrscheinlichkeit für eine Überschneidung berechnen was wäre hier der Ansatz? Weil ich habe ja theoretisch unendlich viele Möglichkeiten das erste Intervall und auch das zweite Intervall einzuzeichnen?

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Sorry, ich habe die Antwort jetzt erst gesehen. Ich hatte das für die Fälle 1,2,3 aufgemalt

Answer 3

Ich schlage vor, die Menge der möglichen Ereignisse \(([a,a+1],[b,b+1])\)

durch die linken Ränder zu modellieren:

\(G=\{(a,b):\; 0\leq a,b\leq N-1\}=[0,N-1]\times[0,N-1]\).

Das Komplement der Überlappungsfälle ist dann

\(K=\{(a,b)\in G:\; a+1< b\vee b+1 < a\}\).

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann für \(N>1\)

\(p=1-\frac{\mu(K)}{\mu(G)}=1-\frac{\mu(K)}{(N-1)^2}\), wobei \(\mu\) die Fläche,

das (Lebesguesche) Flächenmaß) ist.

Dies lässt sich aus Symmetriegründen auch so angeben:

\(H=\{(a,b): \; a\in G\wedge a\leq b\}\) und

für das Komplement \(L\) der Überlappungsfälle

\(L=\{(a,b)\in H: \; a+1< b\}\). Dann ist

\(p=1-\frac{\mu(L)}{\mu(H)}=1-2\frac{\mu(L)}{(N-1)^2}\)