Wahrscheinlichkeit für, genau drei niedrige, genau drei mittlere und genau vier hohe Würfelergebnisse

Question

Aufgabe:

Angenommen, es werden zehn faire Würfel unabhängig voneinander geworfen. Wir erachten die Augenzahlen 1 und 2 als niedrig, die Augenzahlen 3 und 4 als mittel, und die Augenzahlen 5 und 6 als hoch.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei niedrige, genau drei mittlere und genau vier hohe Augenzahlen gewürfelt werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung dieser Frage fast verstanden. Also:

C(10,3) * C(7,3) / 3¹⁰

Ich kann aber nicht verstehen, ob die Reihenfolge berücksichtigt wird oder nicht. Also n^k ist in der Kombinatorik eine Anzahl, mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung. Aber ich kann nicht verstehen, wie die Reihenfolge in dieser Aufgabe berücksichtigt wird?

Answer 1

etwas ausführlicher:

(1/3)^3*(1/3)^3*(1/3)^4* (10über3)*(7über3)*(4über4)

Comments

Einige rechnen auch lieber

(1/3)^3·(1/3)^3·(1/3)^4·10!/(3!·3!·4!)

= (1/3)^10·10!/(3!·3!·4!)

Zum Glück führen immer mehrere Wege nach Rom, sodass sich ein Schüler immer den für ihn leichtesten auswählen kann.

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(1/3)3·(1/3)3·(1/3)4·10!/(3!·3!·4!)

Gute Idee, an Permutation mit Wiederholung habe ich nicht gedacht bei der Reihenfolge,

obwohl naheliegend. :)
Ich denke, damit ist es abschließend gut nachvollziehbar dargestellt.

Answer 2

Ich kann aber nicht verstehen, ob die Reihenfolge berücksichtigt wird oder nicht. Also nk ist in der Kombinatorik eine Anzahl, mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung. Aber ich kann nicht verstehen, wie die Reihenfolge in dieser Aufgabe berücksichtigt wird?

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es schlau evtl. die Reihenfolge zu betrachten, weil, wie hier, dann alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit zuerst drei niedrige, dann drei mittlere und dann vier hohe Augenzahlen zu werfen wäre gemäß der Pfadregel:

(2/6)^3 * (2/6)^3 * (2/6)^4

Das wäre jetzt ein Wurfergebnis

H H H M M M N N N N

Natürlich gehen da auch andere Reihenfolgen wie

H M N H M N H M N N

Insgesamt gibt es also 10!/(3!·3!·4!) Reihenfolgen, die wir hier beachten müssen, bzw. deren Wahrscheinlichkeiten wir einfach nur addieren müssen.

Comments

Ich habe es verstanden Danke sehr! Also wenn die Frage so ausgedrückt wäre "Wahrscheinlichkeit für erstmal 3 niedrig dann 3 mittel und dann 4 hoch Augenzahl zu würfen", wie wäre dann |Ω| und |A|?

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|A| = 2^4 * 2^3 * 2^3 = 1024

|Ω| = 6^10 = 60466176

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Oh ich habe das Verständnis wieder verloren..
Warum haben wir jetzt größere Ergebnismenge? In erster Frage wurden jede unterschiedliche Reihenfolgen als eine Möglichkeit ausgewählt aber hier haben wir bestimmte Reihenfolge. Also sollten wir nicht kleinere Ergebnismenge haben? Oder sollte die Ergebnismenge verändern? Weil wir wieder genau würfen wie in erster Frage.

Answer 3

Hallo,

Aber ich kann nicht verstehen wie die Reihenfolge in dieser Aufgabe berücksichtigt wird?

Auf die Reihenfolge kommt es hier doch gar nicht an.

nnnmmmhhhh ist doch z.B. gleichwertig mit hnmhnmhnmh.

Man verteilt zuerst die 3 niedrigen Würfe auf 10 Plätze, dann die 3 mittleren auf die restlichen 7. Für die 4 hohen bleiben dann noch 4 Plätze über.

Comments

Auf die Reihenfolge kommt es hier doch gar nicht an.

nnnmmmhhhh ist doch z.B. gleichwertig mit hnmhnmhnmh.

Damit kommt es doch auf die (Anzahl der) Reihenfolge(n) an.

Der Pfad nnnmmmhhhh hat die Wahrscheinlichkeit 1/(3¹⁰), ebenso der Pfad hnmhnmhnmh. Man benötigt also die Anzahl aller möglichen (günstigen) Reihenfolgen.