a )
--> setze ich hier die jeweiligen Werte einfach für x ein und berechne es dann?
Ja, genau so musst du es machen.
b )
--> Was ist die Stückkostenfunktion? Wie bestimme ich sie?
Die Stückkostenfunktion beschreibt die Kosten pro Stück. Wenn also für x Stück die Gesamtkostenfunktion y ( x ) ist, dann ist die Stückkostenfunktion s ( x ) einfach:
s ( x ) = y ( x ) / x
In der Aufgabenstellung ist y ( x ) gegeben, also ist s ( x ) :
s ( x ) = y ( x ) / x
= 10 - 4 * ( ( 1 / 3 ) * x4 - 170 * x 3 + 24000 * x 2 + 64000 * x ) / x
= 10 - 4 * ( ( 1 / 3 ) * x3 - 170 * x 2 + 24000 * x + 64000 )
Minimalstellen dieser Funktion sind diejenigen Stellen xi, für die gilt:
s ' ( xi ) = 0
und
s ' ' ( xi ) > 0
Es ist:
s ' ( x ) = 10 - 4 * ( x 2 - 340 * x + 24000 )
und
s ' ' ( x ) = 10 - 4 * ( 2 x - 340 )
s ' ( x ) = 0
<=> 10 - 4 * ( x 2 - 340 * x + 24000 ) = 0
<=> x 2 - 340 * x + 24000 = 0
<=> x 2 - 340 * x + 170 2 = 170 2 - 24000 = 4900
<=> ( x - 170 ) 2 = 4900
<=> x - 170 = ± 70
<=> x = 170 ± 70
=>
x1 = 100
x2 = 240
Nur an diesen Stellen können lokale Minima von s ( x ) vorliegen.
Prüfung mit s ' ' ( x ) an diesen Stellen:
s ' ' ( x1 ) = s ' ' ( 100 ) = 10 - 4 * ( 2 * 100 - 340 ) < 0
=> Bei x1 = 100 liegt kein Minimum von s ( x ) vor (sondern ein Maximum)
s ' ' ( x2 ) = s ' ' ( 240 ) = 10 - 4 * ( 2 * 240 - 340 ) > 0
=> Bei x2 = 240 liegt ein Minimum von s ( x ) vor.
Hier ein Schaubild der Gesamtkostenfunktion y ( x ) in blau und der Stückkostenfunktion s ( x ) in violett, wobei ich y ( x ) durch Veränderung des Exponenten des einleitenden Faktors ein wenig herunterskaliert habe, da diese ohne diese Maßnahme gegenüber der Stückkostenfunktion s ( x ) so groß ausfiele, dass letztere nahezu mit der x-Achse verschmelzen würde:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=10^%28-5.8%29*%28+%281%2F3%29*x^4+-170*x^3%2B24000*x^2%2B64000*x%29%2C+10^%28-4%29*%28+%281%2F3%29*x^3+-170*x^2%2B24000*x%2B64000%29+from+0+to+350
Man kann das Maximum (bei x = 100) und das Minimum (bei x = 240) von s ( x ) recht gut erkennen.
