Aufgabe:
An irgendeinem Ort gibt es eine festgelegte Anzahl von Bakterien, die das Leben genießen. Es können keine neuen Bakterien dazukommen, sterben, oder sich vermehren. Was sie aber tun können, ist mutieren, und das tun sie jede Stunde:
• 15 % von Typ A werden zu Typ B und 5 % von Typ A zu Typ C.
• 20 % von Typ B werden zu Typ A und 5 % von Typ B zu Typ C.
• 5 % von Typ C werden zu Typ A und 5 % von Typ C zu Typ B.
Im Moment gibt es doppelt so viele Bakterien vom Typ A wie vom Typ B, und doppelt so viele vom Typ B wie vom Typ C.
A) Erstellen Sie ein System, das jeden nächsten Schritt beschreibt. Wie wird die Verteilung im nächsten Schritt (nach einer Stunde) aussehen?
B) Was wird auf lange Sicht mit unseren Freunden passieren?
Problem/Ansatz:
A)
\( M = \begin{bmatrix} 0.80 & 0.20 & 0.05 \\ 0.15 & 0.75 & 0.05 \\ 0.05 & 0.05 & 0.90 \\ \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} A_n \\ B_n \\ C_n \end{bmatrix} = M^n \cdot \begin{bmatrix} A_0 \\ B_0 \\ C_0 \end{bmatrix} \)
Ausgangsbedingungen:
\( \begin{bmatrix} A_0 \\ B_0 \\ C_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2B_0 \\ 2C_0 \\ C_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4C_0 \\ 2C_0 \\ C_0 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} A_1 \\ B_1 \\ C_1 \end{bmatrix} = M \cdot \begin{bmatrix} 4C_0 \\ 2C_0 \\ C_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{73C_0}{20} \\ \frac{43C_0}{20} \\ \frac{6C_0}{5} \end{bmatrix} \)
Diese Lösung zeigt dann die Anzahl Bakterien nach 1h in Bezug auf unsere Ausgangsanzahl von \(C_0\).
B) Auf lange Sicht (n nach unendlich):
Wir wissen, dass diese Matrix eine besondere Markov Matrix ist, denn alle Elemente sind > 0, deshalb:
\( \lim_{{n \to \infty}} \begin{bmatrix} A_n \\ B_n \\ C_n \end{bmatrix} = \lim_{{n \to \infty}} (M^n \cdot v) = v^* \) mit v* einem stochastichen Eigenvektor von Eigenwert 1.
Wir wissen, dass 1 ein Eigenwert ist, dann findet man als Eigenvektor von Null verschiedene Vielfache von \((9,7,8)\), welchen wir stochastisch machen und als Spalte schreiben:
\( v^* = \begin{bmatrix} \frac{9}{24} \\ \frac{7}{24} \\ \frac{8}{24} \end{bmatrix} \)
\( \lim_{{n \to \infty}} \begin{bmatrix} A_n \\ B_n \\ C_n \end{bmatrix} = \lim_{{n \to \infty}} (M^n \cdot v) = \begin{bmatrix} \frac{9}{24} \\ \frac{7}{24} \\ \frac{8}{24} \end{bmatrix} \)
v ist unsere Ausgangsbedingungen, die wir auch stochastisch machen, aber sicher gehen, dass wir nichts verändern:
\( \lim_{{n \to \infty}} \begin{bmatrix} A_n \\ B_n \\ C_n \end{bmatrix} = \lim_{{n \to \infty}} (M^n \cdot \begin{bmatrix} \frac{4}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{1}{7} \end{bmatrix}*7C_0) = \begin{bmatrix} \frac{9}{24} \\ \frac{7}{24} \\ \frac{8}{24} \end{bmatrix}*7C_0 = \begin{bmatrix} \frac{21C_0}{8} \\ \frac{49C_0}{24} \\ \frac{56C_0}{24} \end{bmatrix}\)
Nun haben wir unsere Anzahl an Bakterien auf lange Sicht in Bezug auf unsere Ausgangsanzahl von \(C_0\).
Sorry, ist vielleicht ein bisschen lang, aber ich möchte sicher gehen, dass ich hier keinen Unfug gemacht habe...
Vielen Dank!
