ich kann das nachweißen der Markov-Eigenschaft leider noch nicht so wirklich nachvollziehen und habe dazu ein bekanntes Beispiel,wobei ihr mir vielleicht helfen könnt:
Es geht um die einfache Irrfahrt auf \(\mathbb{Z^d}\). Sei also \(x_0 \in \mathbb{Z^d}\) und \(Z_1,Z_2 \dots\) unabhängige Zufallsvariablen und gleichverteilt auf \(\{e_1,-e_1,\dots,e_d,-e_d\}\).
Zu zeigen: Die einfache Irrfahrt (\(X_n)_{n_\geq 0}\)ist definiert durch
\[X_n=x_0 + \sum_{i=1}^n Z_i \]
ist eine Markov Kette mit Zustandsraum \(S=\mathbb{Z^d}\).
Dafür muss ja gezeigt werden, dass
\[P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,\dots,X_0=x_0)=P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)\]
In der Lösung passiert das folgendermaßen
\[P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,\dots,X_0=x_0)\]
\[=P(X_n+Z_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,\dots, X_0=x_0)\]
\[=P(Z_{n+1}=x_{n+1}-x_n| \dots)\]
\[=P(Z_{n+1}=x_{n+1}-x_n)\]
\[=P(Z_{n+1}=x_{n+1}-x_1|X_n=x_n)\]
\[=P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)\]
Im dritten und vierten Schritt wurde ausgenutzt, dass \(Z_{n+1}\) stochastisch unabhängig von \(Z_0,...,Z_n\) ist.
Ich verstehe nicht ganz wieso \(X_n+Z_{n+1}=x_{n+1})=Z_{n+1}=x_{n+1}-x_n\) und \(Z_{n+1}=x_{n+1}-x_n)=(Z_{n+1}=x_{n+1}-x_1|X_n=x_n)\) gilt
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
