Die Gesamtlänge aller Straßenstücke sei minimal.

Question

Vier Ortszentren liegen auf den Eckpunkten eines Quadrats mit der Seitenlänge 10 km. Zwischen ihnen soll ein Straßennetz angelegt werden, das so aussieht, wie die Abbildung unten zeigt. Ist  die Gesamtlänge aller Straßenstücke minimal, wenn der Straßenabschnitt x die Länge 0 hat?

Beantworte die Frage ohne Differentialrechnung und ohne digitale Werkzeuge mit Kenntnis folgender Ungleichungen $\sqrt{34}$<5,831 und $\sqrt{2}$>1,414.

Comments

Hallo,

das Minimum liegt bei x≈4.226

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das Minimum liegt bei x≈4.226

genauer bei $x = 10\left(1-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)$

Answer 1

Hallo Roland,

ich nehme an. Du willst auf folgendes hinaus:

Die Gesamtlänge für $x=0$ lässt sich mit der Kenntnis von $\sqrt{2}\gt 1,414$ abschätzen:$$L(x=0) = 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{2} \gt 20\cdot 1,414=28,28$$und weiter kann man sich folgenden Fall vorstellen:

oben ist $x=4$ womit sich ein $L$ ergibt von:$$L(x=4) = 4 \cdot \sqrt{5^2 + 3^2} + 4 = 4(\sqrt{34}+1) \lt 4\cdot 6,831 = 27,324$$

daraus folgt:$$L(x=4) \lt L(x=0)$$demnach kann der Fall $x=0$ nicht die kürzeste Gesamtlänge sein.

Ein geometrischer Ansatz:

In einem rechtwinkligen Dreieck, welches die Hälfte eines gleichseitigen Dreieck ist, betragen die WInkel $30°$ (gelb) und $60°$ (blau).

... und natürlich ist die rote Strecke genau halb so lang wie die lilane.

Mal angenommen, der Punkt $P$ in obigem Bild ist so positioniert, dass der WInkel zwischen zwei benachbarten Straßen immer 120° ist. Wie verändert sich dann die Gesamtlänge $L$, wenn man den Punkt $P_{120°}$ in Richtung der Quadratmitte nach $P^{-}$ verschiebt?

Das Straßenstück $P_{120°}D$ wird um die Strecke $TP^{-}$ länger. Und da $T$ offensichtlich stets oberhalb der Geraden durch $PR$ verläuft, gilt$$|TP^{-}| \gt |RP^{-}| = \frac{1}{2}|P_{120°}P^{-}|$$Da sich das symmetrische Stück $AP^{-}$ in gleicher Weise verlängert und die Strecke $x$ nur um $|P_{12°}P^{-}|$ verkürzt wird, gilt demnach$$L(P^{-}) = L\left(P_{120°}\right) + 2\cdot TP^{-} - |P_{120°}P^{-}| \gt L\left(P_{120°}\right) + 2\cdot \left(\frac{1}{2}|P_{120°}P^{-}|\right) - |P_{120°}P^{-}| = L\left(P_{120°}\right)$$Verschiebt man $P$ von $P_{120°}$ aus nach links, so dass $x$ größer wird, auf die Position $P^{+}$, so sieht das so aus:

Hier verkürzt sich die Strecke $|DP_{120°}|$ um den Betrag$|P^{+}T|$. Und diese ist wiederum kleiner als $|P^{+}R|$. Somit gilt$$L(P^{+}) = L\left({P_{120°}}\right) - 2|P^{+}T| + |P^{+}P_{120°}| \gt L\left({P_{120°}}\right) - 2\left(\frac{1}{2}|P^{+}P_{120°}|\right) + |P^{+}P_{120°}| = L\left({P_{120°}}\right)$$Folglich liegt im Punkt $P_{120°}$ ein lokales Minimum für die Strecke $L$ vor, was kleiner ist, als $L(x=0)$. Her wären die Winkel jeweils $90°$ und $135°$.

Gruß Werner

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... ich hätte noch eine andere Antwort, die ohne die Kenntnis der Wurzeln auskommt. Aber die vielleicht später ...

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... ich hätte noch eine andere Antwort, die ohne die Kenntnis der Wurzeln auskommt. Aber die vielleicht später ...

und die habe ich nun hinzu gefügt (s.o.)

Answer 2

Minimiert werden soll $L=y+x/2$.

Die Dreiecksungleichung liefert $L\geq 5\sqrt{2}$, wobei der

kleinste Wert von $L$ sich für $x=0$ einstellt; denn

für $x>0$ liefert die Dreiecksungleichung $L>5\sqrt{2}$

Comments

Minimiert werden soll $L=y+x/2$.

Eigentlich doch der Ausdruck  4y + x  oder also   $L=y+x/4$ .

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Ja. Sorry, du hast Recht :(

Answer 3

Hallo Roland

Ich weiß nicht, was für ein Lösungsweg dir da vorschwebt. Insbesondere sehe ich nicht, wie da etwa der Wert $\sqrt{\mathbf{34}}$  eine Rolle spielen soll. Von anderen ähnlichen Aufgaben her weiß ich aber, dass bei den "inneren Knotenpunkten" jeweils drei Winkel von 120°  vorkommen müssten. Damit kommt x = 0 natürlich nicht in Frage.

(Hinter solchen Lösungen steckt eventuell auch Differentialrechnung, aber: um zu zeigen, dass x = 0 nicht zu einer minimalen Streckensumme führt, genügt natürlich auch ein einzelnes simples Zahlenbeispiel, zu dessen Auffindung möglicherweise die Betrachtung dienen könnte, dass  5² + 3² = 25 + 9 = 34)

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Hallo rumar, dass bei den "inneren Knotenpunkten" jeweils drei Winkel von 120°  vorkommen müssten, wusste ich nun wieder nicht.

Zu deinem Kommerntar;  Insbesondere sehe ich nicht, wie da etwa der Wert $\sqrt{34}$  eine Rolle spielen soll.

 $\sqrt{34}$ = $\sqrt{5^2+3^2}$.

Answer 4

Die Streckenlänge in Abhängigkeit der Streckenlänge x lautet wie folgt:

L(x) = x + 4·√(5² + (5 - x/2)²)

Wozu jetzt 2 Wurzeln nennen, wenn man einen Taschenrechner zulässt kann man die Streckenlänge für jedes beliebige x näherungsweise notieren.

Für gerade Werte von x ergeben sich natürlich schön gerade Wurzeln, die man über Wurzeltabellen entnehmen könnte. 41 und 29 als Primzahlen sogar direkt. Bei 34 = 2*17 muss man allerdings noch blöd multiplizieren.

x, L(x);
0, 20·√2;
2, 4·√41 + 2;
4, 4·√34 + 4;
6, 4·√29 + 6

Solange die Schüler den Term für L(x) und den Definitionsbereich für x nennen können, sollte das in einem hilfsmittelfreien Teil doch langen.