Ja, das ist ein starkes Argument!
Es ist absolut klar, dass der Differenzenquotient nur konvergieren kann, wenn f(x)→f(x0) gilt. Insofern handelt es sich lediglich um eine Kurzfassung, bei der man die Stetigkeit und Differnzierbarkeit gemeinsam abfrühstückt. Der einleitende Satz
In deiner Rechnung hast du nur beantwortet, für welche \(a\) die Funktion stetig ist. Das reicht nicht und das brauchst du auch nicht.
lässt aber vermuten, dass man sich im folgenden gar keine Gedanken über die Stetigkeit macht. Und das ist in meinen Augen nicht so.
Zuerst wird geschaut, wann
f(x) - f(x0) gegen 0 konvergiert (Stetigkeit)
Dann ob die Richtungsableitungen dort übereinstimmen (Diff'barkeit)
Unterm Strich passiert also überhaupt nichts anderes, als zB in oswalds Antwort. Es wird ggf. nur zeitsparender aufgeschrieben. Betonung auf ggf. Meiner Erfahrung nach kommen Studis bei so Kurzargumenten häufiger durcheinander oder vergessen Dinge, weil sie nicht wissen auf was es alles ankommt, da sie eben schon die ausführliche Begründung nicht beherrschen. Hier anzumerken:
Und was ist jetzt richtig?
Die Korrektheit dieses verkürzten Arguments kann vom Fragesteller offenbar nicht selbst eingeschätzt werden. Deshalb an den FS: die Antwort von Tschaka ist inhaltlich richtig und als Begründung ausreichend.