Kann man den Wert des Parameters a so angeben, dass die Funktion an der Stelle x=-2 differenzierbar ist?

Question

Aufgabe Differenzierbarkeit:

Kann man den Wert des Parameters \( a \) so angeben, dass die Funktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3 x^{2}-4 x+1 & \text { falls } x<-2 \\ 21 & \text { falls } x=-2 \\ -16 x+a & \text { falls } x>-2 \end{array}\right. \)
an der Stelle \( x=-2 \) differenzierbar ist?

Ansatz/Problem:

Reicht bei der Aufgabe die Lösung so oder muss ich noch mit dem lim rechnen?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 3 x^{2}-4 x+1 & \text { falls } & x<-2 \\ 21 & \prime \prime & x=-2 \\ -16 x+a & \prime \prime & x>-2 \end{array}\right. \)
Wert a an der Stelle \( x=-2 \) differenzierbar
\( \begin{aligned} f(-2) & =21 \\ f(-2) & =21 \\ -16 x+a & =21 \\ -16 \cdot(-2)+a & =21 \\ 32+a & =21 \\ a & =-11 \end{aligned} \)

Comments

So hast du nur hergeleitet, für welche a die Funktion stetig ist.

Überprüfe jetzt also noch, ob sie dort auch diff'bar ist.

Answer 1

Aloha :)

In deiner Rechnung hast du nur beantwortet, für welche \(a\) die Funktion stetig ist. Das reicht nicht und das brauchst du auch nicht. Wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, ist sie dort auch sicher stetig.

Die Funktion ist an der Stelle \(x_0=-2\) differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für \((x\to x_0)\) existiert. Dazu müssen der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein.

Für den linksseitigen Grenzwert brauchen wir Teil 1 und Teil 2 der Defintion von \(f(x)\):$$\phantom=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{(3x^2-4x+1)-21}{x+2}=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{3x^2\pink{-4x}-20}{x+2}$$$$=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{(3x^2+\pink{6x})+(\pink{-10x}-20)}{x+2}=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{3x(x+2)-10(x+2)}{x+2}$$$$=\lim\limits_{x\nearrow-2}\frac{(3x-10)(x+2)}{(x+2)}=\lim\limits_{x\nearrow-2}(3x-10)=-16$$

Für den rechtsseitigen Grenzwert brauchen wir Teil 2 und Teil 3 der Defintion von \(f(x)\):$$\phantom=\lim\limits_{x\searrow-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\lim\limits_{x\searrow-2}\frac{(-16x+a)\pink{-21}}{x+2}=\lim\limits_{x\searrow-2}\frac{(-16x\pink{-32})+(a\pink{+11})}{x+2}$$$$=\lim\limits_{x\searrow-2}\frac{-16(x+2)+(a+11)}{x+2}=\lim\limits_{x\searrow-2}\left(\frac{-16(x+2)}{x+2}+\frac{a+11}{x+2}\right)$$$$=\lim\limits_{x\searrow-2}\left(-16+\frac{a+11}{x+2}\right)=-16\quad\text{für }a=-11$$

Damit der rechtsseitige Grenzwert \((x\searrow-2)\) existiert, muss der Zähler des Bruchs \(\frac{a+11}{x+2}\) verschwinden. Das ist nur für \((a=-11)\) der Fall. Für diesen Fall stimmen dann auch der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert überein.

Die Funktion ist nur für \((a=-11)\) an der Stelle \((x_0=-2)\) differenzierbar und es gilt:$$f'(-2)=-16\quad\text{für }a=-11$$

Comments

Erstmal vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort.

Habe aber noch ne Frage, wie bist du von 3x^2-4x-20 auf (3x^2+6x)+(-10x-20) gekommen?

---

Die \((-4x)\) habe ich durch \((+6x-10x)\) ersetezt, deswegen die pinke Farbe.

---

Das reicht nicht und das brauchst du auch nicht. Wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, ist sie dort auch sicher stetig.

Genau aus diesem Grund braucht man doch ganz zwingend zuerst mal die Bestätigung der Stetigkeit an der interessierenden Stelle !

Die Forderung der Stetigkeit führt zu einem eindeutig bestimmten Wert des Parameters a . Im zweiten Schritt kann man dann prüfen, ob mit diesem Wert auch die strengere Bedingung der Differenzierbarkeit erfüllt ist. Einen Test zur direkten Prüfung auf Differenzierbarkeit, bei welchem die notwendige Stetigkeit ausser Acht gelassen werden kann, kenne ich nicht.

---

Aus der Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten folgt die Stetigkeit. Es reicht daher, die Differenzierbarkeit zu zeigen.

---

Aus der Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten folgt die Stetigkeit. Es reicht daher, die Differenzierbarkeit zu zeigen.

Dazu muss man aber doch wissen, was a ist. Ohne a zu bestimmen
kennt man die Funktion ja gar nicht. Wie will man dann die Diffbarkeit
feststellen? Das a bestimmt man durch die Forderung der Stetigkeit.

---

Wie habe ich denn das \(a\) eindeutig bestimmt, obwohl ich die Stetigkeit überhaupt nicht untersucht habe?

Der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nur für \((a=-11)\).

---

Wie habe ich denn das \(a\) eindeutig bestimmt, obwohl ich die Stetigkeit überhaupt nicht untersucht habe?Der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nur für \((a=-11)\)

Ja, das ist ein starkes Argument!

---

Und was ist jetzt richtig?

---

Du kannst die Rechnung aus meiner Antwort übernehmen.

Die Stetigkeit braucht nicht explizit betrachtet zu werden.

---

Ja, das ist ein starkes Argument!

Es ist absolut klar, dass der Differenzenquotient nur konvergieren kann, wenn f(x)→f(x0) gilt. Insofern handelt es sich lediglich um eine Kurzfassung, bei der man die Stetigkeit und Differnzierbarkeit gemeinsam abfrühstückt. Der einleitende Satz

In deiner Rechnung hast du nur beantwortet, für welche \(a\) die Funktion stetig ist. Das reicht nicht und das brauchst du auch nicht.

lässt aber vermuten, dass man sich im folgenden gar keine Gedanken über die Stetigkeit macht. Und das ist in meinen Augen nicht so.

Zuerst wird geschaut, wann

f(x) - f(x0) gegen 0 konvergiert (Stetigkeit)

Dann ob die Richtungsableitungen dort übereinstimmen (Diff'barkeit)

Unterm Strich passiert also überhaupt nichts anderes, als zB in oswalds Antwort. Es wird ggf. nur zeitsparender aufgeschrieben. Betonung auf ggf. Meiner Erfahrung nach kommen Studis bei so Kurzargumenten häufiger durcheinander oder vergessen Dinge, weil sie nicht wissen auf was es alles ankommt, da sie eben schon die ausführliche Begründung nicht beherrschen. Hier anzumerken:

Und was ist jetzt richtig?

Die Korrektheit dieses verkürzten Arguments kann vom Fragesteller offenbar nicht selbst eingeschätzt werden. Deshalb an den FS: die Antwort von Tschaka ist inhaltlich richtig und als Begründung ausreichend.

Answer 2

Sei

        \(f_1(x) = 3x^2 - 4x+1\)

und

        \(f_2(x) = -16x + a\).

Dann ist

        \(f(x) = \begin{cases}f_1(x)&\text{falls }x < -2\\21&\text{falls }x=-2\\f_2(x)&\text{falls }x > -2\text{.}\end{cases}\)

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \( x=-2 \) differenzierbar, wenn sie dort stetig ist, also

        \(f(-2) = f_1(-2) = f_2(-2)\)

ist und die linksseitige Ableitung gleich der rechtsseitigen Ableitung ist, also

        \(f_1'(-2) = f_2'(-2)\)

ist.

\(a = -11\)

In diesem Fall ist \(f(-2) = f_2(-2)\). Du musst noch \(f(-2) = f_1(-2)\)  und \(f_1'(-2) = f_2'(-2)\) prüfen.

Comments

Hallo Oswald,

Die Funktion f ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn sie dort stetig ist und die linksseitige Ableitung gleich der rechtsseitigen Ableitung ist.

Das ist eine an Nahtstellen abschnittsweise definierter Funktionen übliche Vorgehensweise.

Kennst du (oder ein Leser) dafür eine Quelle für einen formalen Beweis ?

Gruß Wolfgang

Answer 3

lim (x → -2-) f(x) = 21

f(-2) = 21

lim (x --> -2+) f(x) = - 16·(-2) + a = 21 --> a = -11

Für a = -11 ist die Funktion stetig. Jetzt schauen wir ob sie für a = -11 auch differenzierbar ist.

lim (x → -2-) f'(x) = 6·(-2) - 4 = -16

lim (x → -2+) f'(x) = - 16

Für a = -11 ist die Funktion sogar differenzierbar.