Wahrscheinlichkeitsrechnung (ODER bzw. UND-Regel)

Question

Nun ein paar vermischte Bsp:
In einer Urne befinden sich 1 weiße, 1 grüne, 1 rote und 1 schwarze kugel. Es werden 2 Kugeln hintereinander ohne zurücklegen gezogen. Wie groß ist die WS, dass

a) zuerst weiß, dann schwarz gezogen wird?
Zuerst weiß und dann schwarz.
Das ist doch eine bedingte Wahrscheinlichkeit oder? Weil man muss zuerst weiß zieht...

Die Formel ist folgende:
$$ P(A|B)=\frac { P(A\sqcap B) }{ P(A) } $$ --> Das ist die WS, dass ein Ereignis B eintritt unter der Bedingung, das A eingetreten ist.

Ist das also die Formel für bedingte WS?

P(A\sqcap B) bedeutet einfach die WS von A multipliziert mit der WS von B, richtig?

Also komme ich zur folgenden Lösung: WS, dass man weiß zieht ist ja 1/4. Die WS das man schwarz zieht ist ja dann 1/3. Also: $$ \frac { \frac { 1 }{ 4 } *\frac { 1 }{ 3 }  }{ \frac { 1 }{ 4 }  } $$ --> Aber da kommt ja blödsinn raus, ich bin nun voll verwirrt. Das ganze ist doch die bedingte WS, oder nicht?

 b) als erstes die rote gezogen wird?  Das ist leicht, einfach 1/4.

 c)  als zweite die grüne gezogen wird?

Ist das hier auch bedingt? Wie soll man sowas herausfinden, ob es bedingt ist oder nicht? Ich meine hier der erste Zug kann ja alle Farben enthalten sein, aber der 2te sollte grün sein.


 d) nicht als erste die rote gezogen wird ? Hm, das ist die Gegenwahrscheinlichke it, aber warum genau?

e) in einer der beiden Ziehungen rot dabei ist?
Lösung: 1/4+3/*1/3 = 1/2 --> Warum? Wie kommt man auf das?

f) in keiner Ziehung schwarz zu ziehen?
Lösung: UND-Regel --> 3/4 * 2/3 --> Warum das denn bitte? Warum ist es eine UND-Regel?

Wie gehe ich da vor, dass ich berurteilen kann, was ich genau jetzt nehme? Wie kann ich mir solche Aufgaben leicht machen?

 

mfg

Answer 1

also bei a) \( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \).

b) richtig, \( \frac{1}{4} \).

c) \( P = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \).

d) Richtig, \( \frac{3}{4} \), die Gegenwahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{4} \) ist \( \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4} \).

e) Dass bei der ersten Ziehung rot kommt, hat die Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{4} \). Dass bei der zweiten Ziehung rot kommt, hat die Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{4} \). Dass bei der ersten oder bei der zweiten Ziehung rot kommt, hat die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, da diese unabhängig sind:

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \).

f) Richtig, \( P = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \). Es ist eine Und-Regel, da weder in der ersten noch in der zweiten Ziehung Schwarz gezogen werden darf, das heißt: In der ersten Ziehung darf kein Schwarz gezogen werden und in der zweiten Ziehung darf kein Schwarz gezogen werden (hier versteckt sich das "Und").

MfG

Mister

Comments

!


Ich möchte ein weiteres Bsp machen, sodass ich das verstehe.

Bsp: Urne(5 Kugeln mit den Nummern 1-5). 2 Kugeln werden nacheinander (ohne zurücklegen) gezogen.
Wie groß ist die WS, dass a) die erste Kugel eine gerade Ziffer trägt und b) die zweite Kugel eine gerade Ziffer trägt und c) die erste oder die zweite eine gerade Ziffer trägt?

a) Es gibt hier 2 gerade und 3 ungerade Ziffern. Durch Anwenden von "günstigen Fälle / mögliche Fälle" kommt 2/5 raus, das ist einfach.

b) Hier habe ich überhaupt keine Ahnung, leider wie ich das angehen soll. Muss ich hier jetzt alle fälle durchgehen, oder wie macht man das nun?

c) Ich vermute das ist: a) ODER b) bzw. a) + b) Richtig?

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Richtig, \(\frac{2}{5}\) bei a).

b) Es gibt vier Möglichkeiten für die erste und zweite Kugel:

gerade gerade \( \Rightarrow P = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10} \).

gerade ungerade \( \Rightarrow P = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10} \).

ungerade gerade \( \Rightarrow P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \).

ungerade ungerade \( \Rightarrow P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \).

In diesen vier Fällen ist die zweite Kugel zweimal gerade \( \Rightarrow P = \frac{1}{10}+ \frac{3}{10} = \frac{2}{5} \).

c) Hier zählen die ersten drei Fälle von den vier unter b) genannten:

\( P = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \). Dies entspricht nicht der Summe a) + b), da die Ereignisse nicht unabhängig sind ("ohne Zurücklegen" führt hier zur Nicht-Unabhänigigkeit).

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Ah ok, danke. Schon langsam komme ich rein!!


Ich hätte da noch ein Bsp:

Eine Lieferung von LED-Lampen stammt zu 60% aus dem Werk A, zu 40% aus dem Werk B. 97% der Lampen von A und 95% von B sind normgerecht. Mit welcher WS stammt eine defekte Lampe aus dem Werk A?

Kannst du mir bitte dieses Bsp hier erklären? Ich verstehe nicht, warum man hier den Satz von Bayes anwendet?

Was ist hier überhaupt bedingt? Also wo sind die abhängigen Ereignisse?


Hier ist die Lösung:



Würde mich freuen, wenn du mir das erklären könntest bzw. wie weiß man auch wann ich den Satz von Bayes anwenden soll?

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Ich würde vorschlagen, dass du diese Teilfrage als komplette neue Frage stellst, weil es inhaltlich ein neues Thema ist (nämlich der Satz von Bayes).

Es gibt dann Experten, die das gut erklären können. Ich schätze, du bekommst zwei Antworten (natürlich nicht zu einer Wahrscheinlichkeit von 100% ;) und ich würde auch nicht darauf wetten :) )