Beweis einer Teilsummenfolge mit Induktion

Question

Man soll beweisen, dass $$ \sum \limits_{i=0}^{\infty}\frac{i}{2^i}=2 $$

Ich verstehe lediglich einen Rechenschritt nicht.

Also: Sei s_n die Teisummenfolge dieser Reihe, d.h s_n ist die Summe ihrer ersten n Glieder.

$$ s_{n}=\sum \limits_{i=0}^{\infty}\frac{i}{2^i}=2 $$

Dann ist

$$ (*)\space s_{n+1}=s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} $$

und mit s₀ = 0

$$ s_{n+1}=0 +\sum \limits_{i=0}^{\ n+1}\frac{i}{2^i} $$

Induktionsbeweis (...)

s_{n+1 =}   \( \frac{1}{2} \)(s_n  + 2 - \( \frac{1}{2^{n}} \))

und mit (*)

s_n+1 = s_n + \( \frac{n+1}{2^{n+1}} \)= \( \frac{1}{2} \)(sn + 2 - \( \frac{1}{2^{n}} \))

\( \frac{1}{2} \)s_n = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \)

Frage:

Wie kommt man auf \( \frac{1}{2} \)sn = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \) ? Dass man hierzu (*) vewendet, weiß ich, aber wie sieht die genau Umformung von \( \frac{1}{2} \)(sn + 2 - \( \frac{1}{2^{n}} \)) auf \( \frac{1}{2} \)sn = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \) aus ? Ich tu mir irgendwie schwer diesen Schritt nachvollzuziehen.

Comments

Das ist ein ziemliches Durcheinander, kein Wunder, dass Du nicht durchblickst. Wo ist denn die zu zeigende Aussage? Da sollte ein \(n\) drin vorkommen. Bevor die nicht sauber aufgeschrieben ist, sollte man keinen Induktionsbeweis anfangen. Und dann:

Ind. Anf.? Wie lautet die Beh.? Erfüllt oder nicht?

Ind. Vor.?

Ind. Beh.?

Ind.Schluss: \(s_{n+1}=s_n+\frac{n+1}{2^{n+1}} \stackrel{Ind.Vor.\, einbringen}{=}...\).

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Ich habe die Lösung jetzt noch einmal abgeschrieben und frage nochmal, wie kommt man auf

\( \frac{1}{2} \)sn = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \) ganz am Schluss ? Alles andere ist für mich uninteressant.

\( s_{n}=\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{i}{2^{i}} \)
Dann ist
(*) \( s_{n+1}=s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \)
und mit \( \mathrm{s}_{0}=0 \)
\( \begin{aligned} s_{n+1} & =0+\sum \limits_{i=0}^{n+1} \frac{i}{2^{i}} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{i+1}{2^{i+1}} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{i}{2^{i+1}}+\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2^{i+1}} \\ & =\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{i}{2^{i}}+\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2^{i}}\right) \\ & =\frac{1}{2}\left(s_{n}+\sum \limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2^{i}}\right) \end{aligned} \)
Der verbleibende Summenterm kann gemäß der Formeln für geometrische Reihen direkt berechnet werden. Damit ergibt sich:
\( s_{n+1}=\frac{1}{2}\left(s_{n}+2-\frac{1}{2^{n}}\right) \)
und mit \( (*) \)
\( \begin{array}{l} s_{n+1}=s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\left(s_{n}+2-\frac{1}{2^{n}}\right) \\ \frac{1}{2} s_{n}=1-\frac{1+n+1}{2^{n+1}} \end{array} \)

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Hallo,

\( \begin{array}{l} s_{n+1}=s_{n}+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(s_{n}+2-\dfrac{1}{2^{n}}\right) \\[3mm] \dfrac12s_{n}=1-\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\\[3mm] \dfrac{1}{2} s_{n}=1-\dfrac{1+n+1}{2^{n+1}} \end{array} \)

:-)

Answer 1

Aha, erst sprichst Du von Induktion, nun willst Du doch keine machen. Auch gut. Du willst eine explizite Formel für \(s_n\) herleiten, das ist sinnvoll (aber eben keine Induktion).

Antwort auf Deine Frage: indem man die Gleichung

\( s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\left(s_{n}+2-\frac{1}{2^{n}}\right) \)

nach \(s_n\) umstellt und die beiden Brüche zusammenfasst.

Comments

Ja, ich kenn mich mit dem Kram leider nicht so aus. Auf deinen Ansatz bin ich aber auch gekommen, ich komm aber trotzdem nicht auf die Lösung.

Wenn ich das alles mit dem Bruch \( \frac{1}{2} \) multipliziere, steht da:

\( \frac{1}{2} \)sn+1-\( \frac{1}{2^{n+1}} \)

Wie kommt man jetzt auf \( \frac{1}{2} \)sn = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \) ?

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Wieso mit 1/2 multiplizieren? Links steht \(s_n\), rechts \(\frac12s_n\). Fasse zusammen (auf die linke Seite bringen).

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Also links steht eigentlich s_n+1 und nicht sn.

So wie Du schreibst, willst Du also das hier machen:

s_n+1 - \( \frac{1}{2} \) s_n = \( \frac{1}{2} \)(2-\( \frac{1}{2^{n}} \))

Verstehe nicht wie man von darauf auf \( \frac{1}{2} \)sn = 1 - \( \frac{1+n+1}{2^{n+1}} \) kommen soll.

Edit: OK, man setzt jetzt (*) für s_n+1 ein und bringt den Bruch auf die rechte Seite wieder und fasst es mit \( \frac{1}{2^{n+1}} \) zusammen, alles klar, ich glaube, ich habe es verstanden.

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Ich hab Dir oben die Gleichung hingeschrieben, aus der das gewünschte folgt. In dieser kommt kein \(s_{n+1}\) vor und die ist aus Deiner Rechnung entnommen.

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Du hast halt s_n+1 weggelassen, voll ausgeschrieben steht in der Rechnung:

s_n+1 =   \( s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\left(s_{n}+2-\frac{1}{2^{n}}\right) \) 

ob man jetzt \( s_{n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\)-\( \frac{1}{2} \)sn rechnet oder

s_n+1 - \( \frac{1}{2} \)sn und für s_n+1 (*) einsetzt ist egal, kommt selbes Ergebns beim Unformen raus.

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Letzteres ist nur umständlicher. Und bei Folgerungen (wie in der Lösung) bezieht man sich meist, so auch hier, auf die letzte Aussage (d.h. Gleichung).