Also unter dem Wort Teilsummen ist bei deiner ,,Summe'' so einiges schiefgelaufen. Wenn man eine Summe hinschreibt, dann muss man den Summanden \(a_k\) in die Summe reinschreiben. Und wenn du dieser Summe einen Namen geben willst, dann bitte mit einem ,,='' Zeichen verbinden. So muss das aussehen:
\(s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k\).
Und weil du ein konkreten Summanden, nämlich \(a_k=\frac{1}{k}\) für alle \(k\in \mathbb{N}_{\geq 1}=\{1,2,...\}\) gegeben hast, schreibt man diesen auch in die Summe, sodass du das hier bekommst:
\(s_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\).
Nun sollst du ja die ersten Partialsummen für \( n=1,2,3 \) ausrechnen. Das sieht so aus:
\(s_1=\sum\limits_{k=1}^1 \frac{1}{k}=\frac{1}{1}=1\)
\(s_2=\sum\limits_{k=1}^2 \frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
\(s_3=\sum\limits_{k=1}^3 \frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\)
Und allgemein, sagen wir mal \( n=L\in \mathbb{N}_{\geq 1}=\{1,2,...\} \) hast du entsprechend:
\(s_L=\sum\limits_{k=1}^L \frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{L-1}+\frac{1}{L}.\)
