Sind Hauptvektoren auch immer Eigenvektoren?

Question

Aufgabe:

Unterschied Hauptvektor Eigenvektor

Problem/Ansatz:

Ich weiß schon wie man beide berechnet.. Und eben, dass Eigenvektoren Hauptvektoren erster Stufe sind.

Aber sind Hauptvektoren auch immer Eigenvektoren?

Könnte mir da wer mal die Verhältnisse erklären?

Answer 1

Nein, du betrachtest doch bei der Berechnung der Haupträume die Potenzen von

Ker\((A-\lambda\cdot I_n)^k\), welcher mit größerwerdendem k echt anwächst, aber spätestens bei k=n=dim(V) nicht mehr größer wird. Findest du also erst zb bei der Stufe k=2 einen (Haupt-)Vektor v, sodass \((A-\lambda\cdot I_n)^2\cdot v=0\), gilt, dann gilt aber nicht \((A-\lambda\cdot I_n)^1\cdot v=0\), weil dieser Kern eben noch zu klein ist. Hauptvektoren sind verallgemeinerte Eigenvektoren v, die die Eigenschaft \((A-\lambda\cdot I_n)^k\cdot v=0\) erfüllen.

EDIT:

Du erhältst also eine ,,aufsteigende'' Kernkette der Gestalt:

Ker\((A-\lambda\cdot I_n)^1\subseteq \) Ker\((A-\lambda\cdot I_n)^2\subseteq...\subseteq\)Ker\((A-\lambda\cdot I_n)^k\subseteq...\subseteq\)Ker\((A-\lambda\cdot I_n)^n\).

Comments

Stimmt, das mit der Inklusion hatte ich ganz vergessen. Vielen Dank!