Zum Begriff Hauptvektoren findest du hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum#Hauptvektor
Definitionen und den Satz: "Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1." Lies aber unbedingt auch die Definition von Hauptraum gleich darüber.
" Den Eigenvektor habe ich so berechnet:
0 1 1 x 0
0 0 1 y = 0
0 0 0 z 0
Daraus folgt z=0, dann y=0 und x ist 1 da beliebig oder? "
Das ist dann einfach mal ein Eigenvektor mit Eigenwert 1 (nicht unbedingt der Eigenvektor).
Du kannst ihn direkt aus der gegebenen Matrix ablesen,
1 1 1
0 1 1
0 0 1denn du weisst, dass in den Spalten der Matrix die Bildvektoren der Einheitsvektoren stehen. D.h. in diesem Fall, dass (1,0,0) auf (1,0,0) abgebildet wird. D.h. mit dem Eigenwert 1 mult. wird.
" 0 1 1 x 1
0 0 1 y = 0
0 0 0 z 0
Nachtrag: Wieso genau kommst du rechts auf (1,0,0) ?
dann ist die offizielle Lösung (0,1,0) - aber ich verstehe nicht wieso? "
Du hast das lineare Gleichungssystem:
y + z = 1 (I)
z = 0 (II)
0= 0 (III)
Setze mal (0,1,0) ein und rechne nach:Passt.
" Ich würde auf (1,1,0) kommen, denn z = 0, y = 1 und weil x nicht "vorkommt" dachte ich, ist x genauso wie beim Eigenvektor dann beliebig? "Wenn x nicht vorkommt, kannst du für x auch 0 nehmen, wenn du schon y=1 hast. Den Nullvektor willst du ja nicht. Nur, wie ihr die genau zu normieren habt, müsstet ihr doch eigentlich irgendwo abgemacht haben. (?)