Hauptvektoren berechnen, Denk- oder Rechenfehler

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem zu $$ \begin{cases}{x'}_{1}= {x}_{1} - {x}_{2} \\ {x'}_{2}={4x}_{1} - {3x}_{2} \end{cases}$$

Ich habe das ganze erst mal in die Form x' = Ax umgeschrieben. Ich habe zu der Aufgabe auch Lösungen gefunden, allerdings möchte ich sie selber nochmal rechnen.

In den Lösungen steht, dass es zwei Vektoren $$ {v}_{1} = \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$$ und $${v}_{2} = \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$$ geben sollte, wobei v1 ein Eigenvektor ist und v2 ein Hauptvektor.

v1 ließ sich mit Hilfe von Eigenwerten berechnen und dann wollte ich mit dem Verfahren $$ (A-λE)v2=v1 $$ berechnen, also folgendes LGS $$ (A|v1)=v2$$ lösen, mit $$λ=-1$$

Bei der Berechnung kriege ich folgendes: $${x}_{1}={x}_{1} $$ und $${x}_{2}=\frac {1}{4}+ \frac {1}{2}{x}_{2} $$

Ich bin gerade etwas verwirrt mit diesen Zahlen. Sehe den Fehler nicht und bitte daher um Hilfe.

Ich weiß leider nicht warum hier alles Zeilenweise dargestellt wird sobald man etwas in Latex-Schreibweise schreibt, sorry.

Answer 1

Hallo,

\( (A-\lambda E) v 2=v 1 \)

v 1 =\( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \)

->

2x₁ -x₂=1

4x₁ -2x₂=2 ->redundant

->

2x1 -x2=1

x₁= \( \frac{1}{2} \) +\( \frac{x2}{2} \)

Setze  x2=1 -->frei wählbar

und Du bekommst den Vektor

v 2 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix} \) ->Hauptvektor