Berechnen Sie alle Potenzen der Matrix ((2,1),(-1,0))^n

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle Potenzen der Matrix \( \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)^{n} \).

Hinweis: Verwenden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren.

Comments

Hinweis 2:

Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, so existiert eine invertierbare Matrix \(S\) und eine Diagonalmatrix \(D\) mit:

$$ A = SDS^{-1} $$

Diese beiden Matrizen sollten dir bekannt sein, wenn du Eigenvektoren, und -werte schon bestimmt hast. \(S^{-1}\) zu bestimmen dürfte auch kein Problem sein.

Potenziere mal beide Seiten mit \(n\) und du wirst sehen, dass die rechte Seite sich sehr leicht berechnen lässt und du dadurch eine explizite Darstellung von \(A^n\) angeben kannst.

Answer 1

wenn du einige Potenzen ausrechnest siehst du bald

A^n =     n+1       n
               -n          -n+1

Ich würde das mit Induktion beweisen:

Für n=1 ist es klar.
und wenn man A ⁿ⁺¹ haben wil, dann

A^n * A

n+1           n                     *               2             1

    -n          -n+1                                  -1            0

und wenn du das ausrechnest, gibt es

n+2             n+1

-n-1              -n

passt also.

Kannst natürlich auch über A = S*D*S ^-1 gehen
gibt A^n =  S * D^n * S ^-1   (die anderen S und S^-1 heben sich auf.)
und Diagonalmatrix hoch n ist ja auch nicht wild.